Mathématiques du secondaire qualifiant

Suites numériques (5)

2.2 Limite infinie

2.2.1 suite tend vers +∞

Définition
Une suite (un)n∈I admet limite +∞ si tout intervalle ]A;+∞[ avec A∈IR contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
On écrit alors


lim
+∞
(un)n∈I = +∞

En d'autre terme


lim
+∞
(un)n∈I = +∞

⇔ (∀A>0)(∃N∈I)(∀n≥N):un∈]A;;+∞[
⇔(∀A>0)(∃N∈I)(∀n≥N):un > A.

Suites de référence


lim
+∞
(n²) = +∞
lim
+∞
(n³) = +∞

Suites de référence


lim
+∞
(np) = +∞ tel que p≥1

lim
+∞
(√(n)) = +∞
2.2.2 suite tend vers -∞

Définition
Une suite (un)n∈I admet pour limite -∞ si tout intervalle ]-∞ ; A[ avec A∈IR contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
On écrit alors


lim
+∞
(un) = - ∞

En d'autre terme


lim
+∞
(un) = - ∞

⇔ (∀A>0)(∃N∈I)(∀n≥N):un∈]-∞;-A[
⇔ (∀A>0)(∃N∈I)(∀n≥N):un < -A.

Propriété
Soit (un)n∈I une suite numérique


lim
+∞
(un) = + ∞
lim
+∞
(- un) = - ∞

Suites de réference


lim
+∞
(- n²) = - ∞

lim
+∞
(- n³) = - ∞

lim
+∞
(- np) = - ∞ tel que p≥1

lim
+∞
(- √(n)) = - ∞

Exemple
Soit (un)n∈IN* une suite numérique définie par

un = - n³ + 2n
n²-2

lim
+∞
(un) =
lim
+∞
- n³+ 2n
n-2
=
lim
+∞
- n²(n-2)
n-2

Donc


lim
+∞
(un) =
lim
+∞
- n²

ainsi


lim
+∞
(un) = - ∞