Suites numériques (5)
2.2 Limite infinie
2.2.1 suite tend vers +∞
Définition
Une suite (un)n∈I admet limite +∞ si tout intervalle ]A;+∞[ avec A∈IR contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
On écrit alors
lim +∞ | (un)n∈I | = +∞ |
En d'autre terme
lim +∞ | (un)n∈I | = +∞ |
⇔ (∀A>0)(∃N∈I)(∀n≥N):un∈]A;;+∞[
⇔(∀A>0)(∃N∈I)(∀n≥N):un > A.
Suites de référence
lim +∞ | (n²) | = +∞ | lim +∞ | (n³) | = +∞ |
Suites de référence
lim +∞ | (np) | = +∞ tel que p≥1 |
lim +∞ | (√(n)) | = +∞ |
2.2.2 suite tend vers -∞
Définition
Une suite (un)n∈I admet pour limite -∞ si tout intervalle ]-∞ ; A[ avec A∈IR contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
On écrit alors
lim +∞ | (un) | = - ∞ |
En d'autre terme
lim +∞ | (un) | = - ∞ |
⇔ (∀A>0)(∃N∈I)(∀n≥N):un∈]-∞;-A[
⇔ (∀A>0)(∃N∈I)(∀n≥N):un < -A.
Propriété
Soit (un)n∈I une suite numérique
lim +∞ |
(un) | = + ∞ | ⇔ | lim +∞ |
(- un) | = - ∞ |
Suites de réference
lim +∞ |
(- n²) | = - ∞ |
lim +∞ |
(- n³) | = - ∞ |
lim +∞ |
(- np) | = - ∞ tel que p≥1 |
lim +∞ |
(- √(n)) | = - ∞ |
Exemple
Soit (un)n∈IN* une suite numérique définie par
| un = | - n³ + 2n |
| n²-2 |
lim +∞ |
(un) = | lim +∞ |
- n³+ 2n |
| n-2 | |||
| = | lim +∞ |
- n²(n-2) | |
| n-2 |
Donc
lim +∞ |
(un) = | lim +∞ |
- n² |
ainsi
lim +∞ |
(un) | = - ∞ |