Mathématiques du secondaire qualifiant

Suites numériques (6)

2.3 Opérations sur les limites des suites

2.3.1 Propriétés

Soient (un) et (un) deux suites numériques convergentes (qui admettent des limites finies en +∞) et k∈IR.


lim
+∞;
(un+vn) =
lim
+∞
(un)+
lim
+∞
(un)

lim
+∞
(un x vn) =
lim
+∞
(un) x
lim
+∞
(vn)

lim
+∞
k(un) =k
lim
+∞
(un)
Si
lim
+∞
(vn) ≠ 0

alors


lim
+∞
un=
lim
+∞
(vn)
vn
lim
+∞
(vn)

Exemple
Soit (un)n∈IN* une suite numérique définie par

un = n³ - 1
n

lim
+∞
(un) =
lim
+∞
n³-1
n
=
lim
+∞
- 1
n n
=
lim
+∞
- 1
n

On a


lim
+∞
= +∞
lim
+∞
1 = 0
n
ainsi
lim
+∞
(un) = + ∞
2.3.2 Elargir le concept de la limite

Soient (un)n∈I et (vn)n∈I deux suites numériques
1) La somme


lim
+∞
(un)
lim
+∞
(vn)
lim
+∞
(un + vn)
L +∞ +∞
+∞ +∞ +∞
-∞ -∞ -∞
+∞ -∞
-∞ +∞

2) Le produit


lim
+∞
(un)
lim
+∞
(vn)
lim
+∞
(un x vn)
L< 0 -∞ +∞
+∞ +∞ +∞
+∞ -∞ -∞
0 +∞
-∞ -∞ +∞

3) Le quotient


lim
+∞
(un)
lim
+∞
(vn)
lim
+∞
(un)
(vn)
L L'≠0 L
L'
L > 0 0+ +∞
L > 0 0- -∞
+∞ +∞

lim
+∞
(un)
lim
+∞
(vn)
lim
+∞
(un)
(vn)
+∞ 0+ +∞
0 0

╳ signifie Forme indéterminée.