Exercice 1

Soit (u_n) une suite définie par
( ∀n∈IN)

un+1 = 1 -	2
	eun+1

1) Montrer par récurrence que
(∀n∈IN): u_n>0
2) Sachant que ∀x∈IR*

1-	2	≤	1	x
	ex+1		2

i1. Montrer que (∀n∈IN)

un+1≤	1	un
	2

i2. Déduire que (u_n) est décroissante
3) i1. Montrer que ∀n∈IN

un≤(	1	)n
	2

i2. Déduire lim_+∞(u_n)

Exercice 2

Soit (u_n) une suite définie par: (∀n∈IN)

un+2=	2	un+1-	1	un
	5		25

u₁=1 et u₀=0

on pose (∀n∈IN): vn=un+1-	1	un
	5

Et w_n=5ⁿ.u_n
1) i1. montrer que (v_n) est une suite géométrique de raison (1/5)
i2. écrire v_n en fonction de n
2) i1. montrer que la suite (w_n) est une suite arithmétique de raison 5
i2. écrire w_n en fonction de n puis déduire u_n en fonction de n
3) i1. montrer que ∀n∈IN*

0< un+1≤	2	un
	5

i2. déduire que ∀n∈IN*: 0< un+1≤(	2	)n-1
	5

puis calculer lim_+∞(u_n).

Exercice 3

Soit (u_n) une suite définie par:
∀n∈IN:5u_n-4u_n-1=5 et u₀=6
1) déterminer un nombre réel a tel que (∀n∈IN*)

un-a=	4	(un-1-a)
	5

2) Soit (v_n) une suite définie par:
(∀n∈IN): v_n=u_n-a
i. Démontrer que (v_n) est une suite géométrique
i2. Calculer v_n en fonction de n

i3. calculer: limn->+∞	1	(u0+u1+...+un)
	n

Exercice 4

Soit (u_n) une suite définie par

(∀n∈IN): un+1 =	8(un-1)	et u0=3
	un+2

1) Montrer par récurrence que:
∀n∈IN: 2< u_n< 4
2) i1. Etudier la monotonie de (u_n)
i2. Déduire que (u_n) est convergente.
3) i1. Montrer que (∀n∈IN)

4-un+1 ≤	4	(4-un)
	5

i2. Déduire que (∀n∈IN): 4-un ≤(	4	)n
	5

i3. Déterminer lim_+∞(u_n).
4) On pose (∀n∈IN)

vn =	un-4
	un-2

i1. justifier que (v_n) est une suite géométrique et déterminer sa raison et son premier terme
i2. Ecrire (v_n) puis (u_n) en fonction de n
i3. Dduire lim_+∞(u_n).
5) On pose ∀n>0, Sn=v₀+v₁+...+v_n-1
i1. Calculer Sn et déduire
i2. Déduire lim_+∞(S_n).

Exercice 5

Soit (u_n)n>1 une suite définie par

un =1+	1	+..+	1
	√(2)		√(n-1)

1) Etudier la monotonie de (u_n)n>1
2) Montrer que (∀n∈IN*\{1})
u_n > 2((√n) -1)

On donne, ∀p∈IN*\{1}: √p -√(p-1)<	1
	2√(p-1)

3) Déterminer lim_+∞(u_n).

Exercice 6

Soit (u_n)n>0 une suite définie par

∀n∈IN: un+1	1	(un-4n-1) et u0=2
	5

On pose (∀n∈IN): v_n=u_n+n-1
1) Montrer que (v_n) est une suite géométrique de raison 1/5
2) i. Calculer v_n en fonction de n
i2 Déduire u_n en fonction de n puis calculer lim_+∞(u_n).
3) On pose (∀n∈IN): Tn=v₀+v₁+...+v_n et Sn=u₀+u₁+...+u_n montrer que: (∀n∈IN)

Tn =	1	(5-5-n)	et Sn=Tn-	(n+1)(n-2)
	4			2

Exercice 7

Soit (u_n)n>0 une suite définie par
(∀n∈IN*)

un=	n	+	n	+...+	n
	n²+1		n²+2		n²+n

1) Montrer

(∀n∈IN*)	n²	≤un≤	n²
	n²+n		n²+1

2) calculer

lim+∞	n²	et lim+∞	n²
	n²+1		n²+n

3) Déduire lim_+∞(u_n).

Exercice 8

Soit (u_n)n>0 une suite définie par
(∀n∈IN*)

un =	1	+	1	+...+	1
	√(n²+1)		√(n²+2)		√(n²+n)

1) Montrer

(∀n∈IN*)	n	≤un≤	n
	√(n²+n)		√(n²+1)

2) déterminer lim_+∞(u_n).

Exercice 9

Soit (u_n)n>0 une suite définie par
(∀n∈IN*\{1})

un =	√(n)
	√(n+(-1)n

en utilisant un encadrement de u_n, déterminer lim_+∞(u_n).