Mathématiques du secondaire qualifiant

Suites numériques (11)

Exercice 1 tp

Soit (un)n∈IN* une suite numérique définie par

un = sin(n)
n
Calculer
lim
+ ∞
(un)
Correction

Pour tout x∈IR, -1 ≤ sinx ≤ 1
donc ∀n∈IN*, -1 ≤ sin(n) ≤ 1
n→+∞ ⇒ n ≥0

Donc

sin(n) 1
nn

-1 sin(n) 1
nnn

On a


lim
+ ∞
1 = 0 et
lim
+ ∞
- 1 = 0
n n
Donc
lim
+ ∞
sin(n) = 0
n
Exercice 2 tp

Calculer


lim
+ ∞
-n+(-1)n
√(n)
Correction

(∀n∈IN): (-1)n ≤ 1 ⇔ -n+(-1) n ≤ -n + 1
Et puisque ∀n∈IN* on a √(n) > 0

Alors -n + (-1)n -n + 1
√(n)√(n)
On a - n + 1 = - √(n) + 1
√(n)√(n)

lim
+ ∞
1 = 0
lim
+ ∞
- √(n) = -∞
√(n)
Donc
lim
+ ∞
-n+(-1)n = -∞
√(n)
Exercice 3 tp

Soit (un) une suite numérique définie par

un = 1
x+cos²n
Calculer
lim
+ ∞
(un)
Correction

∀n∈IN, cos²n ≥ 0
donc n + cos²n ≥ n
Notons que si vn ≤ un ≤ wn

et
lim
+∞
vn =
lim
+∞
wn

alors


lim
+∞
un =
lim
+∞
vn =
lim
+∞
wn

d'une part

11
n+cos²nn

d'autre part


lim
+ ∞
1 = 0
n

n→ +∞ donc n est strictement positif
Puisque

1 > 0
n + cos²n

Alors


lim
+ ∞
un = 0