Mathématiques du secondaire qualifiant

Suites numériques (3)

Rappel
1) Soient f une fonction continue sur un intervalle E et (un)n∈I une suite numérique à valeurs dans E (∀n∈I; un∈E)
Si la suite (un)n∈I converge vers L alors


lim
+∞
f(un) = f(L)

Si la suite (un)n∈I diverge vers ±∞ alors


lim
n→+∞
f(un) =
lim
t→±∞
f(t)
Exercice 1 tp

Soit (un) une suite définie par

un = 4+ (1)n
2

On considère une fonction f définie par

f(x) = 10 + √x
x

et la suite (vn) définie par vn = f(un)

Calculer
lim
+∞
(vn)
Correction

lim
+∞
un - 4 =
lim
+∞
(0,5)n = 0

car -1 < 0,5 < 1
On a f est continue au point 4 car la fonction √ est continue sur IR+ en particulier au point 4

La fonction x→x est également continue au point 4

Donc la suite (vn) est convergente


lim
+∞
(vn) = f(4) = 3
Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par f(x) = √(x)
On considère la suite (un) définie par

un=2n+1
n

Montrer que la suite (f(un)) est convergente

Calculer
lim
+∞
f(un)
Correction

lim
+∞
(un) =
lim
+∞
2 + 1
n
On a
lim
+∞
1 = 0
n
Donc
lim
+∞
(un) = 2

f est définie et continue sur IR+
Les termes de la suite (un) sont tous dans IR+ de plus elle converge vers 2 alors la suite (f(un)) est convergente


lim
+∞
f(un) = f(2) = √2
Exercice 3 tp
Calculer
lim
+∞
√(n² - n)
Correction

On considère la suite (un) définie par
un = n²-n


lim
+∞
(un) =
lim
+∞
n²(1 - 1 )
On a
lim
+∞
n² = +∞

lim
+∞
1 = 0 ⇒
lim
+∞
1 - 1 = 1
Donc
lim
+∞
(un) = +∞

f=√ est définie et continue sur IR+

Les termes de la suite (un) sont tous dans IR+ et de plus elle diverge vers +∞ donc


lim
n→+∞
f(un) =
lim
t→ +∞
√(t)
Alors
lim
+∞
f(un) = +∞