Suites numériques (3)
Rappel
1) Soient f une fonction continue sur un intervalle E et (un)n∈I une suite numérique à valeurs dans E (∀n∈I; un∈E)
Si la suite (un)n∈I converge vers L alors
lim +∞ | f(un) | = f(L) |
Si la suite (un)n∈I diverge vers ±∞ alors
lim n→+∞ | f(un) = | lim t→±∞ | f(t) |
Exercice 1 tp
Soit (un) une suite définie par
| un = 4+ ( | 1 | ) | n |
| 2 |
On considère une fonction f définie par
| f(x) = | 10 + √x |
| x |
et la suite (vn) définie par vn = f(un)
| Calculer | lim +∞ | (vn) |
Correction
lim +∞ | un - 4 = | lim +∞ | (0,5)n = 0 |
car -1 < 0,5 < 1
On a f est continue au point 4 car la fonction √ est continue sur IR+ en particulier au point 4
La fonction x→x est également continue au point 4
Donc la suite (vn) est convergente
lim +∞ | (vn) = f(4) = 3 |
Exercice 2 tp
Soit f une fonction définie par f(x) = √(x)
On considère la suite (un) définie par
| un= | 2n+1 |
| n |
Montrer que la suite (f(un)) est convergente
| Calculer | lim +∞ | f(un) |
Correction
lim +∞ |
(un) = | lim +∞ |
2 + | 1 |
| n |
| On a | lim +∞ |
1 | = 0 |
| n |
| Donc | lim +∞ |
(un) = | 2 |
f est définie et continue sur IR+
Les termes de la suite (un) sont tous dans IR+ de plus elle converge vers 2 alors la suite (f(un)) est convergente
lim +∞ | f(un) | = f(2) = √2 |
Exercice 3 tp
| Calculer | lim +∞ | √(n² - n) |
Correction
On considère la suite (un) définie par
un = n²-n
lim +∞ |
(un) | = | lim +∞ |
n²(1 - | 1 | ) |
| n² |
| On a | lim +∞ | n² = +∞ |
lim +∞ |
1 | = 0 ⇒ | lim +∞ |
1 - | 1 | = 1 |
| n² | n² |
| Donc | lim +∞ |
(un) | = +∞ |
f=√ est définie et continue sur IR+
Les termes de la suite (un) sont tous dans IR+ et de plus elle diverge vers +∞ donc
lim n→+∞ |
f(un) = | lim t→ +∞ |
√(t) |
| Alors | lim +∞ | f(un) | = +∞ |