Rappel
Soient f une fonction continue sur un intervalle I tel que f(I)⊂I et (u_n)_n≥p une suite définie par
u_n+1 = f(u_n) et u_p∈I
Si la suite (u_n) est convergente alors sa limite L est une solution de l'équation f(x)=x

Exercice 1 tp

Soit (u_n) une suite définie par

1) Montrer que (∀n∈IN ): -2 < u_n ≤ 2

2) Montrer que la suite (u_n) est décroissante et déduire qu'elle est convergente

3) Soit f la fonction définie par

(a) Montrer que f est continue sur l'intervalle
I=[-2;2] et f(I)⊂I
(b) Résoudre dans I l'équation f(x) = x

Correction

1) Montrons par récurrence la propriété
P(n): -2 < u_n ≤ 2
Pour n=0 on a u₀=2 et -2 < u₀ ≤ donc P(0) est vraie
supposons que P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie
On a donc -2 < u_n ≤ 2 ⇔

⇔

⇔

⇔ -2 < u_n+1 ≤ 0
Donc 2 < u_n+1 ≤ 0 ≤ 2 ainsi P(n+1) est vraie
alors (∀n∈IN ): -2 < u_n ≤ 2

2) Montrons que la suite (u_n) est décroissante
On étudie le signe de u_n+1 - u_n pour n∈IN
Soit n∈IN

On a u_n > -2 donc u_n + 2 > 0
et donc -( u_n + 2) < 0
Ainsi u_n+1 - u_n < 0 et cela signifie que la suite (u_n) est décroissante
La suite (u_n) est donc décroissante et minorée par -2 alors elle est convergente
3) (a) f est un binnôme (c'est à dire de la forme ax+b) donc continue sur IR en particulier sur
a=0,5 > 0 donc f est strictement croissante sur IR et enparticulier sur I
f(I)=[f(-2) ; f(2)]=[-2 ; 0]⊂I

(b) Soit x∈I
f(x)=x ⇔ x ⇔

-2∈I donc S = { -2 }

4) La suite (u_n) est de la forme u_n+1 = f(u_n)
de plus f est continue sur I et f(I)⊂I
Puisque u₀∈I et la suite (u_n) est convergente alors sa limite vérifie l'équation f(x)=x sur I
Cette équation admet une seule solution -2 alors