Exercice 1 tp

Soit (u_n) une suite numérique définie par
u_n+1=2u_n+1, n∈IN et u₀=3
et soit (v_n) une suite définie par
v_n=u_n+1
1) Calculer v₀
2) Montrer (v_n) est une suite géométrique
3) Déterminer v_n en fonction de n
4) Déduire u_n en fonction de n

5) Calculer

lim +∞

(un)

Correction

1) On a v_n = u_n + 1
donc v₀ = u₀ + 1 = 3+1 = 4
2) On montre que (v_n) est une suite géométrique
pour cela on calcule v_n+1
on a v_n = u_n + 1

Donc v_n+1 = u_n+1 + 1
ou encore v_n+1 = (2u_n + 1) + 1
= 2(u_n + 1)
Puisque u_n + 1 = v_n alors v_n+1 = 2v_n
et cela signifie que (v_n) est une suite géométrique de raison q=2 et v₀=4
3) On détermine v_n en fonction de n
puisque (v_n) est une suite géométrique
alors v_n = v₀qⁿ ainsi v_n = 4x2ⁿ

4) Puisque v_n = u_n+1 alors u_n = v_n - 1
ainsi u_n = 4x2ⁿ - 1
5) On a 2 > 1 donc

lim +∞

2n = +∞

⇒

lim +∞

4.2n - 1 = +∞

Ainsi

lim +∞

(un)

= +∞

Exercice 2 tp

Soit (u_n)n≥1 une suite numérique définie par
u_n+1 = -3u_n + 4 et u₁=3
on considère la suite (v_n) défine par
v_n = u_n - 1
1) Calculer v₁
2) Montrer que (v_n) est une suite géométrique
3) Déterminer v_n en fonction de n
4) Déterminer u_n en fonction de n

5) La suite (u_n) admet elle une limite ?

Correction

1) On a v_n = u_n - 1 Ainsi v₁=u₁-1=3-1=2
2) On montre que (v_n) est une suite géométrique, pour cela on détermine v_n+1
v_n+1 = u_n+1 - 1
= (-3u_n + 4) - 1 = -3u_n + 3
= -3(u_n - 1) = -3v_n
Donc v_n+1 = -3v_n
ainsi (v_n)n≥1 est une suite géométrique de raison -3

3) On calcule v_n en fonction de n
puisque (v_n) est une suite géométrique alors v_n=v₁q^n-1
ou encore v_n = 2x(-3)^n-1 donc

vn =	- 2	x(-3)n
	3

4) Puisque v_n=u_n-1 alors u_n=v_n+1

Ainsi

un =	- 2	x(-3)n + 1
	3

5) -3 < -1 donc ((-3)ⁿ) n'admet pas de limite et également

- 2	x(-3)n + 1
3

n'admet pas de limite
ainsi la suite (u_n) n'a pas de limite.