Mathématiques du secondaire qualifiant

Suites numériques (5)

Exercice 1 tp

Soit (un) une suite numérique définie par
un+1=2un+1, n∈IN et u0=3
et soit (vn) une suite définie par
vn=un+1
1) Calculer v0
2) Montrer (vn) est une suite géométrique
3) Déterminer vn en fonction de n
4) Déduire un en fonction de n

5) Calculer


lim
+∞
(un)
Correction

1) On a vn = un + 1
donc v0 = u0 + 1 = 3+1 = 4
2) On montre que (vn) est une suite géométrique
pour cela on calcule vn+1
on a vn = un + 1

Donc vn+1 = un+1 + 1
ou encore vn+1 = (2un + 1) + 1
= 2(un + 1)
Puisque un + 1 = vn alors vn+1 = 2vn
et cela signifie que (vn) est une suite géométrique de raison q=2 et v0=4
3) On détermine vn en fonction de n
puisque (vn) est une suite géométrique
alors vn = v0qn ainsi vn = 4x2n

4) Puisque vn = un+1 alors un = vn - 1
ainsi un = 4x2n - 1
5) On a 2 > 1 donc


lim
+∞
2n = +∞
lim
+∞
4.2n - 1 = +∞

Ainsi


lim
+∞
(un) = +∞
Exercice 2 tp

Soit (un)n≥1 une suite numérique définie par
un+1 = -3un + 4 et u1=3
on considère la suite (vn) défine par
vn = un - 1
1) Calculer v1
2) Montrer que (vn) est une suite géométrique
3) Déterminer vn en fonction de n
4) Déterminer un en fonction de n

5) La suite (un) admet elle une limite ?

Correction

1) On a vn = un - 1 Ainsi v1=u1-1=3-1=2
2) On montre que (vn) est une suite géométrique, pour cela on détermine vn+1
vn+1 = un+1 - 1
= (-3un + 4) - 1 = -3un + 3
= -3(un - 1) = -3vn
Donc vn+1 = -3vn
ainsi (vn)n≥1 est une suite géométrique de raison -3

3) On calcule vn en fonction de n
puisque (vn) est une suite géométrique alors vn=v1qn-1
ou encore vn = 2x(-3)n-1 donc

vn = - 2x(-3)n
3

4) Puisque vn=un-1 alors un=vn+1

Ainsi

un = - 2x(-3)n + 1
3

5) -3 < -1 donc ((-3)n) n'admet pas de limite et également

- 2x(-3)n + 1
3

n'admet pas de limite
ainsi la suite (un) n'a pas de limite.