Mathématiques du secondaire qualifiant

Suites numériques (7)

Exercice 1 tp

Soit (un) une suite définie par

∀n∈IN, un+1= 2un-1 et u0=3
un2

1) (a) Montrer que (∀n∈IN): 1≤un≤2
(b) Etudier la monotonie de la suite (un)
(c) Déduire que (un) est convergente

2) Soit f une fonction définie sur I=[1;2] par

f(x) = 2x-1
x

(a) Montrer que f est continue sur I et f(I)⊂I
(b) Résoudre dans I l'équation f(x)=x
3) Calculer


lim
+∞
(un)
Correction

1) (a) On désigne par P(n), la propriété
(∀∈IN): 1 < un < 2
Pour n=0 la propriété P(n) est vraie car

1 < 3 < 2
2

⇔ 1 ≤ u0 ≤ 2
On suppose que P(n) est vraie et on montre qu'elle est vraie pour n+1
On montre d'abord 1 ≤ un+1

un+1 - 1 = 2un - 1 - 1
un
= 2un - 1 - un = un - 1
un un

En utilisant la supposition (1 ≤ un)
on déduit que un - 1 ≤ 0
On a de plus un > 0 donc un+1 - 1 ≤ 0
Et donc (∀n∈IN) on a un ≤ 1
Il reste à montrer que un ≤ 2

un+1 - 2 = 2un - 1 - 2
un
= 2un - 1 - 2un = -1
un un

On a un > 0 et -1 < 0
donc un+1 - 2 < 0 ≤ 0
Et donc (∀n∈IN) on a un ≤ 2
Ainsi (∀n∈IN) on a 1 ≤ un ≤ 2

(b) Monotonie de la suite (un), soit n∈IN

un+1 - un = 2un - 1 - un
un
= 2un - 1 - un² = -(un² - 2un + 1)
un un

En posant X = un on obtient le trinôme T(x)=X²-2X+1 ou encore T(x)=(X-1)²

Donc un+1 - un = -(un - 1)²
un

On a (∀n∈IN): (un - 1)² ≥ 0
Et donc -(un - 1)² ≤ 0
et de plus un > 0
alors (∀n∈IN): un+1 - un ≤ 0
et cela signife que la suite (un) est décroissante
(c) Puisque la suite (un) est décroissante et minorée alors elle est convergente

2) (a) f est la restriction d'une fonction rationnelle donc continue et dérivable sur son ensemble de définition IR* et en particulier sur I=[1 ; 2] . Soit x∈I

f '(x) = 2x-(2x-1) = 1

Donc (∀x∈I) on a f'(x) > 0 et donc f est sterictement croissante sur I<

f(I)=[f(1) ; f(2)] = [ 1 ; 3]
2

Donc f(I)⊂I
Soit x∈I on a f(x) = x ⇔

2x-1 = x ⇔ x² = 2x - 1
x

⇔ x² - 2x + 1 = 0
⇔ (x - 1)² = 0
⇔ x = 1
1∈I donc S = { 1 }

(c) f est continue sur I et f(I)⊂I
la suite (un) est convergente et de la forme un+1= f(un) et on a u0∈I
donc la limite de la suite (un)
est une solution de l'équation f(x)=x

Ainsi
lim
+∞
(un) = 1