Mathématiques du secondaire qualifiant

Suites numériques (8)

Exercice 1 tp

Soit (un) une suite numérique définie par
un+1 = √(2+un) et u0=7
1) Montrer que (∀ n∈IN) on a 2 ≤ un ≤ 7
2) Etudier la monotonie de la suite (un) et déduire qu'elle est convergente
3) Montrer que( ∀n∈IN )

| un+1 - 2 | ≤1| un-2 |
4

Et déduire que (∀n∈IN )

| un - 2 | ≤ 5(1)n
4
4) Calculer
lim
+∞
(un)
Correction

1) On montre par récurrence que la propriété P(n): ∀n∈IN on a 2≤un≤7 est vraie
Pour n=0 on a 2≤u0=7≤7 donc P(n) est vraie pour n=0

On suppose que P(n) est vraie pour n et on montre qu'elle est vraie pour n+1
On a 2≤un≤7 ⇔ 2+2 ≤ un+2 ≤ 7+2
⇔ √(4) ≤ √(2+un) ≤ √(9)
⇔ 2 ≤ un+1 ≤ 7
donc P(n) est vraie pour n+1
On déduit donc que (∀n∈IN) on a 2 ≤ un ≤ 7
Remarque On peut montrer premièrement l'inégalité 2≤un
puis on montre l'inégalité un ≤ 7

2) On étudie la monotonie de(un) pour cela on étudie le signe de un+1-un
un+1-un = √(2+un)-un

= √(2+un)²-un² = -(un²-un-2)
√(2+un)+un√(2+un)+un

un+1-un est de signe de -(un²-un-2)
On pose un=x et on factorise le trinôme
x²-x-2

Δ = b²-4ac=1+8 = 9 > 0

x1 = -b-√Δ ; x2 = -b+√Δ
2a2a
x1 = -(-1)-√(9) ; x2 = -(-1)+√9
2.12.1

x1 = -1 ; x2 = 2
donc

un+1-un= -(un+1)(un-2)
√(2+un)+un

En utilisant la question 1 on obtient un-2 ≥ 0 ; un+1≥0 ; √(2+un)+un>0
Donc (un+1)(un-2) ≥ 0
ou encore -(un+1)(un-2) ≤ 0
Ainsi ∀n∈IN on a un+1-un ≤ 0
et cela signifie que (un) est décroissante
Puisque (un) est décroissante et minorée alors elle est convergente

3) On montre que (∀n∈IN )

| un+1 - 2 | ≤1| un-2 |
4

On a |un+1-2| = |√(2+un) - 2|

= |(√(2+un)²-2²)|=| un-2 |
|√(2+un)+2||√(2+un)+2|

2 ≤ un ≤ 7 ⇔ 4 ≤ un+2 ≤ 9
⇔ √4 ≤ √(un+2) ≤ √9
⇔ 2+2 ≤ √(un+2)+2 ≤ 3+2

1 1 1
5√(un+2)+2 4

donc

| un-2 | | un-2 |
√(un+2)+2 4

et donc (∀n∈IN) on a

| un+1 - 2 | ≤1| un-2 |
4

On donne des valeurs à n

| u1 - 2 | ≤ 1 | u0-2 |
4
| u2 - 2 | ≤1| u1-2 |
4
... ... ...
| un-1 - 2 | ≤1| un-2-2 |
4
| un - 2 | ≤1| un-1-2 |
4

On fait le produit membre à membre de ces inégalités et après simplification on obtient

| un - 2 | ≤ (1)n |u0-2|
4

On déduit donc (∀n∈IN )

| un - 2 | ≤ 5(1)n
4

Puisque 0 < 0,25 < 1 alors


lim
+∞
(1)n = 0
4
Donc
lim
+∞
(un - 2) = 0
Ainsi
lim
+∞
(un) = 2