Suites numériques (8)
Exercice 1 tp
Soit (un) une suite numérique définie par
un+1 = √(2+un) et u0=7
1) Montrer que (∀ n∈IN) on a
2 ≤ un ≤ 7
2) Etudier la monotonie de la suite (un) et déduire qu'elle est convergente
3) Montrer que( ∀n∈IN )
| | un+1 - 2 | ≤ | 1 | | un-2 | |
| 4 |
Et déduire que (∀n∈IN )
| | un - 2 | ≤ 5( | 1 | )n |
| 4 |
| 4) Calculer | lim +∞ | (un) |
Correction
1) On montre par récurrence que la propriété P(n): ∀n∈IN on a 2≤un≤7 est vraie
Pour n=0 on a 2≤u0=7≤7 donc P(n) est vraie pour n=0
On suppose que P(n) est vraie pour n et on montre qu'elle est vraie pour n+1
On a 2≤un≤7
⇔ 2+2 ≤ un+2 ≤ 7+2
⇔ √(4) ≤ √(2+un) ≤ √(9)
⇔ 2 ≤ un+1 ≤ 7
donc P(n) est vraie pour n+1
On déduit donc que (∀n∈IN) on a
2 ≤ un ≤ 7
Remarque On peut montrer premièrement l'inégalité 2≤un
puis on montre l'inégalité un ≤ 7
2) On étudie la monotonie de(un) pour cela on étudie le signe de un+1-un
un+1-un = √(2+un)-un
| = | √(2+un)²-un² | = | -(un²-un-2) |
| √(2+un)+un | √(2+un)+un |
un+1-un est de signe de -(un²-un-2)
On pose un=x et on factorise le trinôme
x²-x-2
Δ = b²-4ac=1+8 = 9 > 0
| x1 = | -b-√Δ | ; x2 = | -b+√Δ |
| 2a | 2a | ||
| x1 = | -(-1)-√(9) | ; x2 = | -(-1)+√9 |
| 2.1 | 2.1 |
x1 = -1 ; x2 = 2
donc
| un+1-un= | -(un+1)(un-2) |
| √(2+un)+un |
En utilisant la question 1 on obtient un-2 ≥ 0 ; un+1≥0 ;
√(2+un)+un>0
Donc (un+1)(un-2) ≥ 0
ou encore -(un+1)(un-2) ≤ 0
Ainsi ∀n∈IN on a un+1-un ≤ 0
et cela signifie que (un) est décroissante
Puisque (un) est décroissante et minorée alors elle est convergente
3) On montre que (∀n∈IN )
| | un+1 - 2 | ≤ | 1 | | un-2 | |
| 4 |
On a |un+1-2| = |√(2+un) - 2|
| = | |(√(2+un)²-2²)| | = | | un-2 | |
| |√(2+un)+2| | |√(2+un)+2| |
2 ≤ un ≤ 7 ⇔
4 ≤ un+2 ≤ 9
⇔ √4 ≤ √(un+2) ≤ √9
⇔ 2+2 ≤ √(un+2)+2 ≤ 3+2
| 1 | ≤ | 1 | ≤ | 1 |
| 5 | √(un+2)+2 | 4 |
donc
| | un-2 | | ≤ | | un-2 | |
| √(un+2)+2 | 4 |
et donc (∀n∈IN) on a
| | un+1 - 2 | ≤ | 1 | | un-2 | |
| 4 |
On donne des valeurs à n
| | u1 - 2 | ≤ | 1 | | u0-2 | |
| 4 | ||
| | u2 - 2 | ≤ | 1 | | u1-2 | |
| 4 | ||
| ... | ... | ... |
| | un-1 - 2 | ≤ | 1 | | un-2-2 | |
| 4 | ||
| | un - 2 | ≤ | 1 | | un-1-2 | |
| 4 |
On fait le produit membre à membre de ces inégalités et après simplification on obtient
| | un - 2 | ≤ ( | 1 | )n |u0-2| |
| 4 |
On déduit donc (∀n∈IN )
| | un - 2 | ≤ 5( | 1 | )n |
| 4 |
Puisque 0 < 0,25 < 1 alors
lim +∞ | ( | 1 | )n = 0 |
| 4 |
| Donc | lim +∞ | (un - 2) = 0 |
| Ainsi | lim +∞ | (un) = 2 |