Théorème de Rolle et théorème des accroissements finis (2)
2.2 Inégalité des accroissements finis
Soit f une fonction définue sur un intervalle [a;b].
Si f vérifie les trois conditions suivantes
(1) f est continue sur le segment [a;b]
(2) f est dérivable sur l'intervalle ouvert ]a;b[
(3) ∃(m ; M)∈IR² tel que
(∀x∈]a;b[): m≤f'(x)≤M
alors m(b-a)≤f(b)-f(a)≤M(b-a).
Démonstration
Puisque les conditions (1) et (2) sont vérifiées alors d'après le TAF
(∃c∈]a;b[) tel que f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).
Et puisque c∈]a;b[ on applique la condition (3)
donc m≤f'(c)&le M
ou encore m(b-a)≤f'(c)(b-a)≤M(b-a)
ainsi m(b-a)≤f(b)-f(a)≤M(b-a).
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ par
f(x) = 2 + x - √(x).
On considère une suite numérique (un) définie par
| un+1 = | f(un) | n∈IN | |
| u0 = | 1 |
1) Montrer que( ∀n∈IN) on a 1≤un<4.
2) Montrer que (un) est croissante et déduire qu'elle est convergente.
3) Résoudre dans I=[1;4] l'équation f(x)=x.
4) (a) En utilisant l'égalité du théorème des accroissements finis
montrer que
| (∀n∈IN): 4 - un+1 ≤ | 3 | (4-un) |
| 4 |
(b) Déduire que (∀n∈IN) on a
| |4 - un| ≤ 3 ( | 3 | )n |
| 4 |
| (c) Calculer | lim +∞ |
(un) |
Correction
1) On montre par récurrence la propriété
P(n): (∀n∈IN): 1≤ un<4.
Pour n=0 on a 1≤1<4 donc P(n) est vraie pour n=0.
On suppose que P(n) est vraie pour n et on montre qu'elle est vraie pour n+1.
On a 1≤un<4
⇔ 1≤√(un)<2
⇔ -2<-√(un)≤-1
Donc 1+(-2)≤un-√(un)≤4+(-1)
ou encore 1≤2+un-√(un)≤5
ou encore 1≤un+1<5.
Ce n'est pas fini il faut montrer que un+1<4.
un+1-4=un-√(un)-2.
On pose X=√(un) et on factorise le trinôme X²-X-2
Δ=9 et X=2 ou X=-1
donc X² - X - 2 = (X - 2)(X + 1)
et donc un+1-4 = (√(un)-2)(√(un)+1).
Et puisque un≥1 alors √un+1>0
et on a un<4 alors √(un)<2
ou encore √(un)-2<0
donc un+1 - 4<0
ainsi P(n) est vraie pour n+1
Enfin (∀n∈IN) on a 1≤un<4
2) On étudie le signe de un+1 - un.
un+1 - un=2 - √(un)
puisque √(un)<2 alors
2-√(un)>0
et donc un+1-un>0
Ainsi (un) est une suite croissante.
La suite (un) est croissante et majorée donc elle est convergente.
3) Résolution de l'équation f(x)=x dans I
f(x)=x ⇔ 2+x-√(x)=x
⇔ √(x)=2
⇔ x=4∈I
donc S = { 4 }.
4) (a) On a un∈I donc on considère l'intervalle I'=[un;4]
les fonctions x→√(x) et x→2+x sont continues sur IR+ en particulier sur I'
Donc f est continue sur I'.
Les fonctions x→√(x) et x→2+x sont dérivables sur ]0;+∞[
en particulier sur l'intervalle ouvert ]un;4[
donc f est dérivable sur ]un;4[.
D'après le théorème des accroissements finis on déduit que
(∃c∈]un;4[): f(un)-f(4)=f'(c)(un-4)
ainsi (∀n∈IN): 4-un+1=f'(c)(4-un).
Soit x∈]1;4[
| f '(x) = 1 - | 1 |
| 2√(x) |
donc
| f '(c) = 1 - | 1 |
| 2√(c) |
puisque c∈]1;4[ alors 2<2√(c)<4
ou encore
| 1 | < | 1 | < | 1 |
| 4 | 2√(c) | 2 |
Ou encore
| -1 | < | - 1 | < | -1 |
| 2 | 2√(c) | 4 |
ou encore
| -1 | + 1 < 1 - | 1 | < 1 - | 1 |
| 2 | 2√(c) | 4 |
ou encore
| 1 | < 1 - | 1 | < | 3 |
| 2 | 2√(c) | 4 |
Donc
| 1 | < f'(c) < | 3 |
| 2 | 4 |
(∀n∈IN) on a 4-un+1=f'(c)(4-un)
et donc (∀n∈IN)
| 4 - un+1 ≤ | 3 | (4 - un) |
| 4 |
(b) Soit n∈IN
| 4 - un+1 ≤ | 3 | (4 - un) |
| 4 |
| |u1 - 4 | ≤ | 3 | |u0 - 4| |
| 4 | ||
| |u2 - 4 | ≤ | 3 | |u1 - 4| |
| 4 | ||
| .. | .. | .. |
| |un - 4 | ≤ | 3 | |un-1 - 4| |
| 4 |
on multiplie membre à membre ces inégalités.
Après simplification on obtient
| |4 - un| ≤ ( | 3 | )n|4 - u0| |
| 4 |
ainsi
| ∀n∈IN: |4 - un| ≤ 3 ( | 3 | )n |
| 4 |
(c) On calcule
lim +∞ |
(un) |
| -1 < | 3 | < 1 ⇒ | lim +∞ |
( | 3 | )n = 0 |
| 4 | 4 |
donc
lim +∞ |
(4 - un )= 0 |
ainsi
lim +∞ |
(un) = 4 |