3- الخاصية المميزة للمرجح

3.1 مرجح نقطتين

3.1.1 مبرهنة

G مرجح النقطتين المتزنتين (A ; a) و (B ; b)
اذا وفقط اذا كان لكل نقطة M من المستوى
aMA^→ + bMB^→ = (a+b) MG^→
تبيان باستعمال علاقة شال
aMA^→ + bMB^→ = (a+b) MG^→ ⇔ aGA^→ + bGB^→ = O^→

3.1.2 نتيجة:

G مرجح النقطتين المتزنتين (A ; a) و (B ; b)
اذا وفقط اذا كان

AG→ =	b	GB→
	a+b
BG→=	a	GA→
	a+b

ملاحظة

النتيجة السابقة تمكن من رسم المرجح

3.2 مرجح ثلاث نقط

3.2.1 مبرهنة

G مرجح (A ; a) ; (B ; b) و (C ; c)
اذا وفقط اذا كانت لكل نقطة M من المستوى
aMA^→+bMB^→+cMC^→
=(a+b+c) MG^→

3.2.2 نتيجة

نضع M=A
ونفس الشيء نضع M=B او M=C

AG→=	b	AB→	+	c	AC→
	a+b+c			a+b+c
BG→=	a	BA→	+	c	BC→
	a+b+c			a+b+c
CG→=	a	CA→	+	b	CB→
	a+b+c			a+b+c

3.3 مرجح اربع نقط

3.3.1 مبرهنة

G مرجح (A; a); (B; b); (C; c) و (D; d)
اذا وفقط اذا كانت لكل نقطة M من المستوى
aMA^→+ bMB^→+cMC^→+dMD^→=(a+b+c+d)MG^→

4- التجميعية

4.1 مرجح ثلاث نقط

G مرجح (A,a) ; (B,b) و (C;c)
اذا كانت (كمثال) H مرجحا ل (A,a); (B,b) حيث (a+b ≠0) فان G مرجح ل (H,a+b) ل (C;c).

خاصية

مرجح ثلاث نقط لا يتغير اذا تم استبدال نقطتين من بين هذه النقط بمرجحهما ان وجد

مثال

انشئ G مرجح (A;-1) ; (B;3) ; (C;1)

تصحيح

نلاحظ ان النقطتين (A,-1) ; (C,1) ليس لهما مرجحا لان -1+1=0 اذن لا يمكن تطبيق التجميعية على A و C
نأخذ النقطتين (A;-1) ; (B;3) لان -1+3=2≠0
اذن يقبلان مرجحا نرمز له ب H ومنه فان G مرجح النقطتين (H;2) ; (C;1)
يمكن ان نطبق التجميعية ايضا على النقطتين B; C لان 3+1=4≠0
ملاحظة يمكن رسم المرجح G برسم كل من H و C
لدينا H مرجح ل (A;-1) ; (b;3) يعني
∀M: -MA^→+3MB^→=(-1+3)MH^→
⇔ ∀M: -MA^→+3MB^→=2MH^→
⇔ -BA^→=2BH^→

يعني ان

BH→ = -	1	BA→
	2

ونعلم ان
∀M: -MA^→+3MB^→+MC^→=3MG^→
⇔ 2MH^→+MC^→=3MG^→
⇔ HC^→=3HG^→
وبالتالي

HG→ =	1	HC→
	3

4.2 مرجح اربع نقط

G مرجح (A,a) ; (B,b) ; (C;c) و (D;d)
اذا كانت (كمثال) H مرجحا ل (A,a) ; (B,b) حيث (a+b ≠0) و k مرجحا ل (C,c) ; (D,d) حيث (c+d ≠0) فان G مرجح ل (H,a+b) و (K;c+d)

خاصية

مرجح اربع نقط لا يتغير اذا تم استبدال نقطتين او ثلاث نقط من بين هذه النقط بمرجحها ان وجد

مثال

انشئ G مرجح (A;2) ; (B;-2) ; (C;1) و (D;2)

تصحيح

نلاحظ ان النقطتين (A,2) ; (B,-2) ليس لهما مرجحا لان 2+(-2)=0 اذن لا يمكن تطبيق التجميعية على A و B
نأخذ النقطتين (A;2) ; (D;2) لان 2+2=4≠0 اذن يقبلان مرجحا نرمز له ب H ومنه فان G مرجح النقط (H;4) ; (B;-2) ; (C;1)
يمكن ان نطبق التجميعية ايضا على النقطتين B; C لان -2+1=-1≠0 اذن يقبلان مرجحا نرمز له ب T
ومنه فان G مرجح للنقطتين (H;4) ; (T;-1)

ملاحظة يمكن رسم المرجح G برسم كل من H و T
لدينا H مرجح ل (A;2) ; (D;2) يعني
∀M: 2MA^→+2MD^→=4MH^→
⇔ ∀M: MA^→+MD^→=2MH^→
وهذا يعني ان H منتصف القطعة [AD]
ولدينا T مرجح ل (B;-2) ; (C;1) يعني
∀M: -2MB^→+MC^→=-MT^→
⇔ BT^→=-BC^→
ونعلم ان
∀M: 2MA^→+2MD^→-2MB^→+MC^→=3MG^→
⇔ 4MH^→-MT^→=3MG^→
⇔ -HT^→=3HG^→

وبالتالي