1.3 Barycentre de trois points

1.3.1 Théorème et définition

Soient (A; a) ; (B; b) et (C; c) trois points pondérés tel que a+b+c≠0.
Il existe un seul point G défini par
aGA^→ + bGB^→ + cGC^→ = O^→.
Le point G est le Barycentre des points pondérés (A;a) ; (B;b) et (C;c).

Remarque
Si a+b+c=0 alors (A;a) ; (B;b) et (C;c) n'admettent pas de barycentre.

Exemple
Les points pondérés (E;4) ; (F;-1) et (K;-3) n'admettent pas de barycentre
car 4+(-1)+(-3)=0.

1.3.2 Centre de gravité de trois points

Définition 1
Le centre de gravité de trois points A ; B et C est le barycentre des points A ; B et C afféctés par le même coefficient différent de 0.

Définition 2
Le centre de gravité de trois points A ; B et C est le barycentre des points pondérés (A;1) ; (B;1) et (C;1).

1.3.3 Propriété

Les médianes d'un triangle se coupent au centre de gravité G du triangle (ABC).
GA^→+GB^→+GC^→=O^→
et si A' ; B' et C' sont réspéctivement les milieux des segments [BC]; [AC] et [AB]

1.4 Barycentre de quatre points

1.4.1 Théorème et définition

Soient (A;a) ; (B;b) ; (C;c) et (D;d) quatre points pondérés tels que a+b+c+d≠0.
Il existe un seul point G défini par
aGA^→+bGB^→+cGC^→+dGD^→=O^→.
et est appelé le Barycentre des points (A;a) ; (B;b) ; (C;c) et (D;c).

Remarque
Si a+b+c+d=0 alors (A;a) ; (B;b) ; (C;c) et (D;d) n'admettent pas de barycente.

Exemple
Les points pondérés (I; 2); (J;5); (K;-3) et (L;-4) n'ont pas de barycentre
car 2+5+(-3)+(-4)=0.

1.4.2 Centre de gravité de quatre points

Définition 1
Le centre de gravité de quatre points A ; B ; C et D est le barycentre des points A ; B ; C et D afféctés par le même coefficient différent de 0.

Définition 2
Le centre de gravité des points A ; B ; C et D est le barycentre des points pondérés (A;1);(B;1);(C;1) et (D;1).