1.5 Invariance du barycentre

1.5.1 Propriété

Le barycentre des points pondérés ne change pas si les coefficients de ces points sont multipliés par un même nombre non nul.

Démonstration (cas de deux points )
Soit G le barycentre de (A;a) et (B;b) tels que a+b≠0 et k≠0.

aGA^→ + bGB^→ = O^→
⇔ k(aGA^→)+bGB^→ )=k O^→
⇔ kaGA^→ + kbGB^→ = O^→
puisque ka+kb=k(a+b)≠0
alors G est également le barycentre des points pondérés (A;ka) et (B;kb).
(même démarche pour 3 ou 4 points).

1.5.2 Exemple

G est le barycentre des points pondérés (A;2) et (B;-4) signifie G est le barycentre de (A;-10) et (B;20).

Exercice 1 tp

Soit G le barycentre des points pondérés (A;k) et (B;t).
Déterminer les nombres réels k et t dans chacun des cas suivants
1) GA^→ + GB^→ = 2AB^→.
2) 2GA^→ + AB^→ = O^→.

Exercice 2 tp

Soient (ABC) un triangle et D un point défini par
AD^→ = 1,5AB^→.
1) Vérifier que le point A est le barycentre de (A;3) et (D;-2).
2) Tracer le barycentre G des points pondérés (A;3) et (D;-2).
3) Montrer que = 3DB^→ puis déduire que les deux vecteurs AG^→ et BC^→ sont colinéaires.

4) Déterminer l'ensemble des points M du plan défini par
||-2MD^→+3MB^→||=||-2MD^→+3MC^→||).