Mathématiques du secondaire qualifiant

المرجح في المستوي (2)

تمرين 5 tp

انشئ G مرجح (A;2) ; (B;-2) ; (C;1) و (D;2).

تصحيح

نلاحظ ان النقطتين (A,2) ; (B,-2) ليس لهما مرجحا لان 2+(-2)=0 اذن لا يمكن تطبيق التجميعية على A و B
نأخذ النقطتين (A;2) ; (D;2) لان 2+2=4≠0 اذن يقبلان مرجحا نرمز له ب H ومنه فان G مرجح النقط (H;4) ; (B;-2) ; (C;1)
يمكن ان نطبق التجميعية ايضا على النقطتين B; C لان -2+1=-1≠0 اذن يقبلان مرجحا نرمز له ب T
ومنه فان G مرجح للنقطتين (H;4) ; (T;-1)

ملاحظة يمكن رسم المرجح G برسم كل من H و T
لدينا H مرجح ل (A;2) ; (D;2) يعني
∀M: 2MA+2MD=4MH
⇔ ∀M: MA+MD=2MH

وهذا يعني ان H منتصف القطعة [AD]
ولدينا T مرجح ل (B;-2) ; (C;1) يعني
∀M: -2MB+MC=-MT
⇔ BT=-BC

ونعلم ان
∀M: 2MA+2MD-2MB+MC=3MG
⇔ 4MH-MT=3MG
⇔ -HT=3HG

وبالتالي

HG = -1HT
3
تمرين 6 tp

لتكن G مرجح النقط المتزنة (A;-3) ; (B;1) ; (C;1) ولتكن E نقطة بحيث AB=-2AE ونعتبر F مسقط E على (AC) في اتجاه (BC)
1) انشئ الشكل
2) بين ان

AF = 1AC
2

3) بين ان G تنتمي الى المستقيم المار من A ومن I منتصف القطعة [BC]
4) بين ان IG=3IA
5) بين ان المستقيمات (CE); (BF) ; (AI) متلاقية في المرجح G

تصحيح

1)

2) نعلم ان الاسقاط يحافظ على معامل استقامبة متجهتين
لدينا AB=-2AE و A; C; F المساقط على التوالي للنقط A; B; E على المستقيم (AC) في اتجاه (BC) اذن

AC=-2AF⇔ AF = - 1AC
2

3) لدينا G مرجح النقط المتزنة (A;-3) ; (B;1) ; (C;1)
بما ان 1+1=2≠0 فان النقطتين (B;1) ; (C;1) تقبلان مركز ثقل اي منتصف القطعة [BC] ونرمز له ب I ;ومنه فان G مرجح النقطتين المتزنتين (A;-3) ; (I;2) وبالتالي G∈(AI)
4) نبين ان IG=3IA
لدينا G مرجح (A;-3) ; (I;2)

اذن -3GA+2GI=O ⇔-3GI-3IA+2GI=O
⇔ -GI=+3IA ⇔ IG=3IA

5) نعلم ان AB=-2AE
⇔ GB-GA=-2(GE-GA)
⇔ GB-3GA=-2GE
⇔ -GC=-2GE ⇔ GC=2GE

اذن G∈(CE)
وبنفس الطريقة يمكن ان نبين ان G∈(BF)
وبالتالي G∈(AI)∩(CE)∩(BF).

تمرين 7 tp

نعتبر في المستوى المنسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i;j)
النقط A(5;2); B(3;1); C(1;5) و D
1) هل النقط (B;-4); (C;7); (D;-3) تقبل مرجحا G ?
2) بين ان (A;-2) ; (B;4); (C;3), تقبل مرجحا G
3) حدد G(xG;yG).

تصحيح

1) لدينا -4+7-3=0 اذن (B;-4); (C;7); (D;-3) لا تقبل مرجحا
2) لدينا -2+4+3=5≠0 اذن (A;-2) ; (B;4); (C;3) تقبل مرجحا G
3) نحدد احداتيتي G.

{ xG =-2.5+4.3+3.1 ; G(1;3)
-2+4+3
yG =-2.2+4.1+3.5
-2+4+3
تمرين 8 tp

نعتبر في المستوى المنسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i;j)
نقطتين A(-1;5) و B(3;4)
1) بين ان (A;2) و (B;8) تقبلان مرجحا G
2) حدد G(xG;yG).

تصحيح

1) لدينا 2+8=10≠0 اذن A و B تقبلان مرجحا G.
2) نحدد احداتيتا G.

{ xG =2.(-1)+8.3
2+8
yG =2.5+8.4
2+8

اذن G(2,2 ; 5,2).