تمرين 5 tp

انشئ G مرجح (A;2) ; (B;-2) ; (C;1) و (D;2).

تصحيح

نلاحظ ان النقطتين (A,2) ; (B,-2) ليس لهما مرجحا لان 2+(-2)=0 اذن لا يمكن تطبيق التجميعية على A و B
نأخذ النقطتين (A;2) ; (D;2) لان 2+2=4≠0 اذن يقبلان مرجحا نرمز له ب H ومنه فان G مرجح النقط (H;4) ; (B;-2) ; (C;1)
يمكن ان نطبق التجميعية ايضا على النقطتين B; C لان -2+1=-1≠0 اذن يقبلان مرجحا نرمز له ب T
ومنه فان G مرجح للنقطتين (H;4) ; (T;-1)

ملاحظة يمكن رسم المرجح G برسم كل من H و T
لدينا H مرجح ل (A;2) ; (D;2) يعني
∀M: 2MA^→+2MD^→=4MH^→
⇔ ∀M: MA^→+MD^→=2MH^→
وهذا يعني ان H منتصف القطعة [AD]
ولدينا T مرجح ل (B;-2) ; (C;1) يعني
∀M: -2MB^→+MC^→=-MT^→
⇔ BT^→=-BC^→

ونعلم ان
∀M: 2MA^→+2MD^→-2MB^→+MC^→=3MG^→
⇔ 4MH^→-MT^→=3MG^→
⇔ -HT^→=3HG^→
وبالتالي

تمرين 6 tp

لتكن G مرجح النقط المتزنة (A;-3) ; (B;1) ; (C;1) ولتكن E نقطة بحيث AB^→=-2AE^→ ونعتبر F مسقط E على (AC) في اتجاه (BC)
1) انشئ الشكل
2) بين ان

3) بين ان G تنتمي الى المستقيم المار من A ومن I منتصف القطعة [BC]
4) بين ان IG^→=3IA^→
5) بين ان المستقيمات (CE); (BF) ; (AI) متلاقية في المرجح G

تصحيح

1)

2) نعلم ان الاسقاط يحافظ على معامل استقامبة متجهتين
لدينا AB^→=-2AE^→ و A; C; F المساقط على التوالي للنقط A; B; E على المستقيم (AC) في اتجاه (BC) اذن

3) لدينا G مرجح النقط المتزنة (A;-3) ; (B;1) ; (C;1)
بما ان 1+1=2≠0 فان النقطتين (B;1) ; (C;1) تقبلان مركز ثقل اي منتصف القطعة [BC] ونرمز له ب I ;ومنه فان G مرجح النقطتين المتزنتين (A;-3) ; (I;2) وبالتالي G∈(AI)
4) نبين ان IG^→=3IA^→
لدينا G مرجح (A;-3) ; (I;2)

اذن -3GA^→+2GI^→=O^→ ⇔-3GI^→-3IA^→+2GI^→=O
⇔ -GI^→=+3IA^→ ⇔ IG^→=3IA^→
5) نعلم ان AB^→=-2AE^→
⇔ GB^→-GA^→=-2(GE^→-GA^→)
⇔ GB^→-3GA^→=-2GE^→
⇔ -GC^→=-2GE^→ ⇔ GC^→=2GE^→
اذن G∈(CE)
وبنفس الطريقة يمكن ان نبين ان G∈(BF)
وبالتالي G∈(AI)∩(CE)∩(BF).

تمرين 7 tp

نعتبر في المستوى المنسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→)
النقط A(5;2); B(3;1); C(1;5) و D
1) هل النقط (B;-4); (C;7); (D;-3) تقبل مرجحا G ?
2) بين ان (A;-2) ; (B;4); (C;3), تقبل مرجحا G
3) حدد G(xG;yG).

تصحيح

1) لدينا -4+7-3=0 اذن (B;-4); (C;7); (D;-3) لا تقبل مرجحا
2) لدينا -2+4+3=5≠0 اذن (A;-2) ; (B;4); (C;3) تقبل مرجحا G
3) نحدد احداتيتي G.

تمرين 8 tp

نعتبر في المستوى المنسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→)
نقطتين A(-1;5) و B(3;4)
1) بين ان (A;2) و (B;8) تقبلان مرجحا G
2) حدد G(xG;yG).

تصحيح

1) لدينا 2+8=10≠0 اذن A و B تقبلان مرجحا G.
2) نحدد احداتيتا G.

اذن G(2,2 ; 5,2).