Exercice 1 tp

Soient (A;1) ; (B;1) ; (C;1) et (D;-1) quatre points pondérés.
I- 1) Montrer que (A;1) ; (B;1) ; (C;1) et (D;-1) admettent un barycentre, noté G.
2) Tracer G.
II- 1) Soit K un point tel que AK^→ = DB^→
Montrer que K est le barycentre des points pondérés (A;1) ; (B;1) et (D;-1).
2) Montrer que G est le milieu du segment [CK] et tracer K et G.

Correction

I- 1) (A;1) ; (B;1) ; (C;1) et (D;-1) admettent un barycentre G car a=1; b=1; c=1 ; d=-1 et a+b+c+d=2≠0
2) Les points A ; B et C sont des points affectés par le même coefficient
donc ils admettent un centre de gravité H
ainsi ∀M on a MA^→ +MB^→+MC^→=3MH^→.
Soit I le milieu du segment [BC]

AH→ =	2	AI→
	3

G est le barycentre des points pondérés (A;1) ; (B;1) ; (C;1) et (D;-1) signifie que
G est le barycentre de (H;3) et (D;-1)
ou encore
(∀M) on a MA^→+MB^→+MC^→-MD^→=2MG^→
ou encore 3MH^→-MD^→=2MG^→
on pose M=H donc
-HD^→ = 2HG^→

alors HG→ = -	1	HD→
	2

II- 1) Soit M un point du plan
En utilisant la relation de chasles on obtient
AK^→=DB^→
⇔AM^→ + MK^→ = DM^→ + MB^→
⇔ Mk^→ = -AM^→ + MB^→ + DM^→
⇔ MK^→ = MA^→ + MB^→ - MD^→
⇔ MA^→ + MB^→ - MD^→ = MK^→
⇔ MA^→ + MB^→ - MD^→=(1+1-1)MK^→
et cela signifie que K est le barycentre des points pondérés (A;1) ; (B;1) et (D;-1).

2) G est le barycentre des points pondérés (A;1) ; (B;1) ; (C;1) et (D;-1)
En utilisant l'association on obtient que G est le barycentre des points (K;1) et (C;1)
K et C ont le même poids 1 donc G est le centre de symétrie des points K et C
ou encore G est le milieu du segment [CK].