Exercice 1 tp

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ les points A(1;-3); B(-4;1) C(3;1) et H(2;-1).
1) Montrer que les points pondérés (A;1) ; (B;2) et (C;1) admettent un barycentre G
2) Montrer que G est le milieu du segment [HB].
3) Déterminer G(x_G;y_G).

4) Déterminer l'ensemble (C) des points M(x;y) du plan tel que
||MA^→+3MB^→+MC^→||=8.
5) Montrer que l'ensemble (C) est défini par l'équation suivante
x²+y²+2x-3=0.

Correction

1) (A;1) ; (B;2) et (C;1) admettent un barycentre G car 1+2+1=4≠0.
2) (A;1) ; (C;1) admettent un barycentre et exactement un centre de gravité K car 1+1=2≠0
et de plus K est le milieu du segment [AC].
Pour tout M du plan on a
MA^→ + MC^→ = 2MK^→ en particulier pour M=O
OA^→ + OC^→ = 2OK^→

Ou encore

donc K(2;-1) et de plus K=H
ainsi G est le barycentre des points pondérés (B;2) et (H;2)
et puisque B et H ont le même poids 2 alors G est le milieu du segment [HB].

3) Les coordonnées de G. On a H(2;-1) et B(-4;1) donc

ainsi G(-1 ; 0).

4) G est le barycentre des points pondérés (A;1) ; (B;2) et (C;1) signifie que pour tout points M du plan
MA^→+2MB^→+MC^→= 4MG^→
donc ||MA^→+2MB^→+MC^→||=8
⇔ ||4MG^→||=8 ⇔ ||MG^→||=2
⇔ MG=2
MG=2 signifie que M est à 2 du point G ou encore M appartient au cercle de centre G et de rayon 2.

5) MG=2 ⇔ GM²=4
⇔ (x-(-1))²+(y-0)²=4
⇔ x²+2x+1+y²=4
⇔ x²+y²+2x-3=0
ainsi l'ensemble des points M(x;y) du plan tel que
||MA^→+3MB^→+MC^→||=8 est un cercle de centre G et de rayon 2
et de plus il est défini par l'équation
x²+y²+2x-3=0.