Exercice 1 tp

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ les points A(8;-3); B(4;1) C(0;1) et D(2;3).
1) Montrer que (A;1) et (B;3) admettent un barycentre G.
2) Déterminer G(x_G;y_G).
3) Montrer que (C;2) ; (D;2) admettent un barycentre H.

4) Déterminer H(x_H;y_H).
5) Déterminer l'ensemble des points M(x;y) du plan tel que
||MA^→+3MB^→||=||2MC^→+2MD^→||.

Correction

1) (A;1) et (B;3) admettent un barycentre G car a=1 ; b=3 et a+b=4≠0.
2) Les coordonnées de G

ainsi G(5 ; 0).

3) (C;2) et (D;2) admettent un barycentre H car a=2 ; b=2 et a+b=4≠0 et puisque a=b alors H est le centre de gravité des points C et D ou encore le milieu du segment [CD].
4) Les coordonnées de H.

ainsi H(1 ; 2).

5) G est le barycentre des points pondérés (A ; 1) et (B ; 3) signifie que pour tout points M du plan
MA^→+3MB^→ = 4MG^→
de même H est le barycentre des points pondérés (C ; 2) et (D ; 2) signifie que pour tout points M du plan
2MC^→+2MD^→=4MH^→.

Donc ||MA^→+3MB^→||=||2MC^→+2MD^→||
⇔ ||4MG^→||=||4MH^→|| ⇔ MG=MH
MG = MH signifie que M appartient au médiatrice du segment [GH].
On détermine une équation du médiatrice
On a G(5 ; 0) et H(1 ; 2).

MG = MH ⇔ GM² = HM²
⇔ (x-5)²+(y-0)² = (x-1)²+(y-2)²
⇔ x²-10x+25+y² = x²-2x+1+y²-4y+4
⇔ -10x+5+2x+4y-5=0
⇔ -8x+4y=0
⇔ y = 2x
ainsi l'ensemble des points M(x;y) du plan tel que
||MA^→+3MB^→||=||2MC^→+2MD^→|| est la droite d'équation y =2x.