1- Dérivation et fonction dérivée

1.1 Dérivabilité en un point

1.1.1 Définition

Soient f une fonction définie sur un intérvalle I et a∈I.
f est dérivable au point a signifie qu'il existe un nombre réel L tel que

L est le Nombre dérivé de f en a, noté f'(a).

Remarque si on pose h=x-a on obtient

1.1.2 Interprétation géométrique

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère une fonction f dérivable au point a et (C) sa courbe représentative

Soient A(a ; f(a)) et M(x;y) deux points de la courbe (C).

est le coefficient directeur de la droite (AM).

De plus si M se déplace sur la courbe jusqu'elle se confonde avec A alors la droite (AM) prend une disposition unique, la droite (Δ) qui coupe la courbe en un seul point A=M et son coefficient directeur est la limite suivante

Et donc la droite (Δ) d'équation
y=f'(a)(x-a)+f(a) est appelée tangente à la courbe (C) au point A.

1.2.2 Propriétés et Définitions

Soit f une fonction dérivable au point a.
1) Elle existe une fonction g telle que
f(x)=f'(a)(x-a)+f(a)+(x-a)g(x).
2) y=f'(a)(x-a)+f(a) est l'équation de la tangente à la courbe (C) au point A(a;f(a)).
3) La fonction x→f'(a)(x-a)+f(a) est l'Approximation affine de la fonction f au point a.
(ou f(a+h)≃hf'(a)+f(a) quand h→0).

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par f(x)=x³.
1) Montrer que f est dérivable au point 1.
2) Déterminer l'équation de la tangente au point A(1;f(1)).

Correction

donc f est dérivable au point 1 et f'(1)=3 est le nombre dérivé au point 1 ainsi la courbe (C) admet une tangente au point A(1;1) d'équation
T: y=f'(1)(x-1)+f(1)
ou encore T: y=3x-2.