Dérivation (2)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction définie par f(x)=x².
Déterminer l'approximation affine de f(1+h)
au voisinage de 0 ?
Correction
on a f(a+h)≃hf'(a)+f(a) avec h→0
il faut donc calculer f(1) et le nombre dérivé
f'(1).
lim 1 |
f(x)-f(1) | = | lim 1 |
(x+1) = 2 | |
| x-1 |
donc f'(1)=2 ainsi f(1+h)≃2h+1.
Exercice 2 tp
Soit f une fonction définie par
| f(x) = | 1 |
| x |
1) Déterminer l'approximation affine de f(2+h)
au voisinage de 0 ?
2) Donner une valeur approximative de
| 1 |
| 2,005 |
Correction
on a f(a+h)≃hf'(a)+f(a) avec h→0
il faut donc calculer f(2) et le nombre
dérivé f'(2).
lim 2 | f(x)-f(2) | = | lim 2 | -1 | =-0,25 |
| x-2 | 2x |
donc f'(2)=-0,25 ainsi f(2+h)≃-0,25h+0,5.
2) 2,005 = 2+0,005 et 0,005 s'aproche de 0.
f est dérivable au point 2 donc
f(2+0,005)≃0,005f'(2)+f(2)
ainsi f(2,005) ≃0,49875.
1.2 Dérivabilité à gauche et dérivabilité à droite
1.2.1 Dérivée à gauche
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle
sous la forme [a;a+r[.
f est dérivable à droite à a
| si (∃L∈IR): | lim x→a+ |
f(x)-f(a) | = L |
| x-a |
L est le Nombre dérivé de f à droite à a, noté f'd(a) .
| f'd(a) = | lim x→a+ |
f(x)-f(a) |
| x-a |
Exemple
Etudier la dérivabilité de la fonction f définie par f(x)=√(x) en 0+.
Correction
f(0)=0
lim x→0+ |
f(x)-f(0) | = | lim x→0+ |
√(x) |
| x | x |
| = | lim x→0+ |
1 | = +∞ | |
| √(x) |
cette limite n'est pas un nombre réel donc f n'est pas dérivable en 0+.
1.2.2 Dérivée à gauche
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle
sous la forme ]a-r;a].
f est dérivable à gauche à a s'il existe
un nombre réel L tel que
lim x→a- |
f(x)-f(a) | = L |
| x-a |
L est le Nombre dérivé de f à gauche à a, noté f'g(a).
| f'g(a) = | lim a- |
f(x)-f(a) |
| x-a |
Propriété
f est une fonction dérivable au point a équivaut à
f est dérivable à droite et à gauche à a
et f'd(a)=f'g(a).