4- المعادلات التفاضلية

4.1 المعادلة (E) y"+a²y =0

4.1.1 تعريف

f قابلة للاشتقاق مرتين على I و w∈R نضع y=f; y'=f' و y"=f"
المعادلة y"+w²y=0 تسمى معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية مجهولها الدالة y.

4.1.2 امثلة

(E1) : y"+4y=0 ; (E2) : y"+1/2 y=0 معادلات تفاضلية من الرتبة الثانية مجهولها الدالة y.

4.1.3 الحل العام للمعادلة (E)

خاصية حالة w≠0

الحل العام للمعادلة
(E): y"+w²y=0 هو مجموعة الدوال المعرفة كالتالي
y(x)=αcoswx+βsinwx حيث α∈;β∈IR

4.1.4 مثال 1

حل المعادلة التفاضلية (E1) y"+5y=0
يعني جد الحل العام للمعادلة التفاضلية

تصحيح

لدينا w²=5 اذن w=√5 او w=-√5
الحل العام للمعادلة التفاضلية (E1) هو مجموعة الدوال y المعرفة ب لكل x∈IR:
y(x)=αcos(√5)x+βsin(√5)x حيث α∈;β∈IR

ملاحظة

الحل لا يتغير اذا اخذت w=-√5

4.1.5 مثال 2

حل المعامل التفاضلية (E2): 2y"+8y=0

تصحيح

لدينا 2y"+8y=0⇔y"+4y=0 اذن w²=4 اي w=2 او w=-2
اذن الحل العام للمعادلة التفاضلية (E2) هو مجموعة الدوال y المعرفة كالتالي لكل x∈IR:
y(x)=αcos2x+βsin2x حيث α∈;β∈IR

4.2 الحل الخاص للمعادلة التفاضلية (E)

4.2.1 مثال

1) جد الحل العام للمعادلة التفاضلية y"+4y=0
2) حدد الدالة f حل للمعادلة التفاضلية (E) التي تحقق الشرطين f(π/4)=1 و f(0)=2

تصحيح

1. الحل العام للمعادة y"+4y=0 هو مجموعة الدوال y حيث y(x)=αcos2x+βsin2x و α∈;β∈IR
2. f هي حل للمعادلة اذن f(x)=αcos2x+βsin2x
وبما ان f(0)=2 فان α=2
وبما ان f(π/4)=1 قان 2 cos(π/2) +βsin(π/2)=1 اي β=1
وبالتالي f(x)=2cos2x+sin2x

4.2.2 نتيجة

الحل اغلعام للمعادلة التفاضلية y"+w²y=0 يمكن ان يكتب على الشكل y(x)=acos(wx-φ) حيث a∈;φ∈IR

تمرين

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي f(x)=kcos(-3x+θ)
بين ان f حل للمعادلة التفاضلية y"+9y=0

4.2.3 حالة w=0

1) حدد الحل العام للمعادلة التفاضلية (E3): y"=0
2) حدد f حل للمعادلة (E3) والتي تحقق الشرطين f(1)=2 و f'(0)=-3

تصحيح

1. y"=0 يكافئ (y')'=0 يكافئ (y')=a حيث (a∈IR)
يكافئ y=ax+b حيث (a∈IR; b∈IR)
مجموعة حلول المعادلة (E3) هي مجموعة الدوال f المعرفة ب f(x)=ax+b
2. لدينا f(x)=ax+b و f(1)=2 اذن a+b=2.
وبما ان f'(x)=a و f'(0)=a=-3 فان b=2-(-3)=5
وبالتالي f(x)=-3x+5