1.3.2 مشتقة الجمع والجذاء

لتكن f و g دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال I و k∈IR و n∈IN*
الدوال f+g; kf; fg و fⁿ قابلة للاشتقاق على I ولدينا :
(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)
(kf)'(x)=kf'(x)
(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
(fⁿ)'(x)=nf^n-1f'(x)
(f(ax+b))'(x)=af'(ax+b)

نتيجة

الدوال الحدودية قابلة للاشتقاق على IR

مثال 1

لتكن f دالة معرفة كما يلي :
f(x)=(x²-7x)(3x+5)
احسب f'(x) حيث x∈IR

تصحيح

لدينا f جذاء دالتين قابلتين للاشتقاق على IR اذن قابلة للاشتقاق على IR, ليكن x∈IR:
f'(x)=[(x²-7x)(3x+5)]'
=((2.x-7)(3x+5)+(x²-7x)(3)
اي f'(x)=(6x²+10x-21x-35)+(3x²-21x)
اذن ∀x∈IR, f'(x)=9x²-32x-35

مثال 2

لتكن f دالة معرفة ب : f(x)=(5x³-1)²
احسب f'(x) حيث x∈IR, .

تصحيح

لدينا f مربع دالة قابلة للاشتقاق على IR اذن قابلة للاشتقاق على IR ليكن x∈IR:
f'(x)=[(5x³-1)²]'=2(5x³-1)'(5x³-1)^2-1
=2(5.3x²)(5x³-1)=30x².5x³-30x²
اذن ∀x∈IR: f'(x)=150x⁵-30x²

1.3.3 مشتقة المقلوب

خاصية

اذا كانت الدالة g لا تنعدم على المجال I فان مقلوب الدالة g قابل للاشتقاق على I
∀x∈I لدينا :

(	1	)'(x)=	-g'(x)
	g		(g(x))²

1.3.4 نتيجة 1

∀x∈I لدينا :

(	f	)'(x)=	f'(x)g(x)-f(x)g'(x)
	g		(g(x))²

نتيجة 2

الدوال الجذرية قابلة للاشتقاق على مجموعة تعريفها

تمرين

لتكن f دالة عددية معرفة ب :

f(x)=	5x
	x²-4

احسب f'(x) حيث x∈Df.

2.3 مشتقة √(f)

خاصية

f دالة موجبة قطعا على I اي (f>0) اذا كانت الدالة f قابلة للاشتقاق على I فان الدالة √(f) قابلة للاشتقاق على I.

∀x∈I ; (√f)'(x)=	f'(x)
	2√f(x)

3- الرتابة والمطارف والاشتقاق

3.1 اشارة المشتقة

3.1.1 مبرهنة

لتكن f قابلة للاشتقاق على I
f تزايدية على I يكافئ لكل x∈I لدينا f'(x)≥0
f تناقصية على I يكافئ لكل x∈I لدينا f'(x)≤0
f ثابتة على I يكافئ لكل x∈I لدينا f'(x)=0

3.1.2 خاصية

لتكن f قابلة للاشتقاق على I
f تزايدية قطعا على I يكافئ لكل x∈I لدينا f'(x)>0
f تناقصية قطعا على I يكافئ لكل x∈I لدينا f'(x)≤0

مثال

ادرس رتابة الدالة f حيث f(x)=x²-2x+3

تصحيح

لدينا f دالة حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR
ليكن x∈IR لدينا f'(x)=2x-2.

x	-∞		1		+∞
f'(x)		-	0	+

اذن f'(x)≤0 اذا كان x≤1 وهذا يعني ان f تناقصية قطعا على ]-∞;1[
و f'(x)≥0 اذا كان x≥1 وهذا يعني ان f تزايدية قطعا على ]1;+∞[
2 قيمة دنيا للدالة f عند 1
جدول التغيرات

x	-∞		1		+∞
f'(x)		-	0	+
f	+∞	↘	2	↗	+∞

تمرين

ادرس رتابة الدالة f

f(x)=	2x+1
	x+3

تصحيح

لدينا f دالة جذرية اذن قابلة للاشتقاق على مجموعة تعريفها D=IR\{-3}

ليكن x∈]-∞;-3[∪]-3;+∞[

f'(x)=(	2x+1	)'=	5
	x+3		(x+3)²

5>0 و (x+3)²>0 اذن لكل x∈D لدينا f'(x)>0
للتذكير D اتحاد مجالين منفصلين نقول بهذه الصيغة ان f تزايدية قطعا على ]-∞;-3[ وتزايدية قطعا على ]-3;+∞[

x	-∞			-3			+∞
f'(x)		-		||		+
f	2	↗	+∞	||	-∞	↗	2

3.2 مطارف دالة

3.2.1 خاصية 1

لتكن f دالة قابلة للاشتقاق على I و a∈I
اذا كانت f تقبل مطرافا عند a فان f'(a)=0

ملاحظة

عكس الخاصية غير صحيح (مثال مضاد f(x)=x³ لدينا f'(0)=0 ولكن f لا تقبل مطرافا في 0)

3.2.2 خاصية 2

اذا انعدمت f' في النقطة a مع تغير الاشارة في a فان f(a) مطرافا للدالة f

3.2.3 مثال

حدد مطارف الدالة f حيث f(x)=x³-3x

تصحيح

لدينا f قابلة للاشتقاق على IR و لكل x∈IR: f'(x)=3(x²-1)
اذن f'(x)=0 يكافئ x=1 او x=-1

جدول التغيرات

x	-∞		-1		1		+∞
f'		+	0	-	0	+
f	-∞	↗	2	↘	-2	↗	+∞

ملاحظة

f' تنعدم في -1 وتغير اشارتها من + الى - اذن f(-1)=2 قيمة قصوى للدالة f على ]-∞;1[
f' تنعدم في 1 وتغير اشارتها من - الى + اذن f(1)=-2 قيمة دنيا للدالة f على ]-1;+∞[