Dérivation (7)
Exercice 1 tp
Montrer que
(∀x∈IR): cos'(x)=- sinx.
Exercice 2 tp
Etudier la dérivabilité de la fonction f définie par f(x)=sinx.
Correction
Soit a un élément de IR.
lim a |
f(x)-f(a) | = | lim a |
sin(x)-sin(a) |
x-a | x-a |
= |
lim a |
2cos | (x+a) | × sin | (x-a) | |
2 | 2 | |||||
x-a |
= | lim a |
cos | (x+a) | × sin | (x-a) |
2 | 2 | ||||
x-a | |||||
2 |
On pose t = | x-a |
2 |
x→a ⇒ t→0
On a donc
lim t→0 |
sint | = 1 | lim x→a |
cos | x+a | = cosa |
t | 2 |
donc
lim a |
f(x)-f(a) | = cosa |
x-a |
a est un bombre réel quelconque donc sin est dérivable sur IR et sa fonction dérivée sin' est définie par
(∀x∈IR): sin'(x)=cosx.
1.4 Dérivée seconde et dérivées successives
1.4.1 Dérivée seconde
Soit f une fonction dérivable sur I.
Si la fonction dérivée f' à son tour est dérivable
sur I alors la fonction dérivée de f' est
la fonction Dérivée séconde de f,
notée f".
f" est définie comme suit
(∀x∈I) : f"(x)=(f')'(x).
1.4.2 dérivées successives
Si la fonction dérivée seconde f" à son tour est dérivable sur I alors la fonction dérivée de f" est la fonction Dérivée triple ou de rang 3, notée f(3) ou f''' ainsi on note la fonction dérivée de rang n par f(n).
Exemple 1
La fonction f définie par f(x)=x² est dérivable sur IR
donc (∀x∈IR): f'(x)=2x.
f' est dérivable sur IR
donc (∀x∈IR): f"(x)=(f')'(x)
=(2x)'=2.
Exemple 2
La fonction g définie par g(x)=x5 est dérivable sur IR
donc (∀x∈IR): g'(x)=5x4.
g' est dérivable sur IR
donc (∀x∈IR): g"(x)=(g')'(x)
=(5x4)'= 20x³.
Exemple 3
La fonction h définie par h(x)=x10 est dérivable sur IR
donc (∀x∈IR): h'(x)=10x9.
h' est dérivable sur IR
donc (∀x∈IR): h"(x)=(h')'(x)
=(10x9)'= 90x8.
h" est dérivable sur IR
donc (∀x∈IR): h(3)(x)=(h")'(x)
=(90x8)'= 720x7.