Mathématiques du secondaire qualifiant

Dérivation (7)

Exercice 1 tp

Montrer que
(∀x∈IR): cos'(x)=- sinx.

Exercice 2 tp

Etudier la dérivabilité de la fonction f définie par f(x)=sinx.

Correction

Soit a un élément de IR.


lim
a
f(x)-f(a) =
lim
a
sin(x)-sin(a)
x-ax-a

=


lim
a
2cos (x+a) × sin (x-a)
22
x-a
= lim
a
cos (x+a) × sin (x-a)
22
x-a
2
On pose t = x-a
2

x→a ⇒ t→0

On a donc


lim
t→0
sint= 1
lim
x→a
cosx+a = cosa
t2

donc


lim
a
f(x)-f(a) = cosa
x-a

a est un bombre réel quelconque donc sin est dérivable sur IR et sa fonction dérivée sin' est définie par
(∀x∈IR): sin'(x)=cosx.

1.4 Dérivée seconde et dérivées successives

1.4.1 Dérivée seconde

Soit f une fonction dérivable sur I.
Si la fonction dérivée f' à son tour est dérivable sur I alors la fonction dérivée de f' est la fonction Dérivée séconde de f, notée f".
f" est définie comme suit
(∀x∈I) : f"(x)=(f')'(x).

1.4.2 dérivées successives

Si la fonction dérivée seconde f" à son tour est dérivable sur I alors la fonction dérivée de f" est la fonction Dérivée triple ou de rang 3, notée f(3) ou f''' ainsi on note la fonction dérivée de rang n par f(n).

Exemple 1
La fonction f définie par f(x)=x² est dérivable sur IR
donc (∀x∈IR): f'(x)=2x.
f' est dérivable sur IR
donc (∀x∈IR): f"(x)=(f')'(x)
=(2x)'=2.

Exemple 2
La fonction g définie par g(x)=x5 est dérivable sur IR
donc (∀x∈IR): g'(x)=5x4.
g' est dérivable sur IR
donc (∀x∈IR): g"(x)=(g')'(x)
=(5x4)'= 20x³.

Exemple 3
La fonction h définie par h(x)=x10 est dérivable sur IR
donc (∀x∈IR): h'(x)=10x9.
h' est dérivable sur IR
donc (∀x∈IR): h"(x)=(h')'(x)
=(10x9)'= 90x8.
h" est dérivable sur IR
donc (∀x∈IR): h(3)(x)=(h")'(x)
=(90x8)'= 720x7.