Dérivation (6)
1.3 Dérivation sur un intervalle et Fonction dérivée
1.3.1 Dérivation sur un intervalle
Définition 1
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I⊂D.
f est dérivable sur I signifie que f est dérivable en tout point de I.
Définition 2
f est dérivable sur un segment [a;b] signifie que f
est dérivable en tout point de ]a;b[ et dérivble
à droite à a et à gauche à b.
1.3.2 Fonction dérivée
Définition
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
La fonction qui associe chaque élément x de I par son nombre
dérivé f'(x) est appelée Fonction dérivée de f et est
noté f'.
Remarque
La fonction dérivée de f est la dérivée
première de f, notée f'.
Exemple
Soit f une fonction définie par f(x)=x²
Déterminer f'(x).
Correction
f est définie sur IR. Soit a∈IR
f(a)=a².
lim a |
f(x)-f(a) | = | lim a |
x²-a² |
x-a | x-a | |||
=lim a |
(x-a)(x+a) | = | lim a |
(x+a) = 2a ∈IR |
x-a |
a est un nombre réel quelconque donc f est dérivable sur IR et sa fonction dérivée f' est définie par
(∀x∈IR): f'(x)=2x.
Exemple 2
Soit f une fonction définie par f(x)=x³
Déterminer f'(x)
Correction
f est définie sur IR. Soit a∈IR
f(a)=a³
lim a |
f(x)-f(a) | = | lim a |
x³-a³ |
x-a | x-a |
= | lim a |
(x-a)(x²+ax+a²) |
x-a |
= | lim a |
(x²+ax+a²) = 3a² ∈IR |
a est un nombre réel quelconque donc f est dérivable sur IR et sa fonction dérivée f' est définie par
(∀x∈IR): f'(x)=3x².
1.3.3 Propriété
Soit f une fonction définie par
f(x)=xn tel que n∈IN*.
La fonction f est dérivable sur IR et sa fonction dérivée est définie par
(∀x∈IR): f'(x)= nxn-1.
Exemples
Soit f une fonction définie par
f(x)=xn tel que n∈IN*.
f est dérivable sur IR.
1) Si n=4 alors f(x)=x4
et (∀x∈IR): f'(x)=4x³.
2) Si n=8 alors f(x)=x8
et (∀x∈IR): f'(x)=8x7.
3) Si n=13 alors f(x)=x13
et (∀x∈IR): f'(x)=13x12.