Dérivation (12)
Exercice 1 tp
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→). Soit f une fonction numérique f définie par
f(x)=√(x²-4x+3)
et (C) sa courbe représentative dans ℙ.
1) Déterminer D le domaine de définition de f.
2) Calculer les limites suivantes
lim -∞ |
f(x) | lim +∞ |
f(x) |
3) Etudier la dérivabilité de f en 1 et en 3
et déduire que (C) admet deux demi-tangentes.
4) Montrer que ∀x∈D\{1;3}.
| f '(x) = | x-2 |
| f(x) |
et tracer le tableau de variations de f.
Correction
1) D={x∈IR/ x²-4x+3≥0}.
| a=1 | b'=-2 | c=3 |
Δ'=b'²-ac=1 donc x=1 ou x=3
ainsi x²-4x+3=(x-1)(x-3).
| x | -∞ | 1 | 3 | +∞ | |||
| x²-4x+3 | + | 0 | - | 0 | + |
D=]-∞;1]∩[3;+∞[.
2) Limite en -∞
lim -∞ |
x²-4x+3 | = | lim -∞ |
x² = +∞ |
donc
lim -∞ |
f(x) = +∞ |
Limite en +∞
lim +∞ |
x²-4x+3 | = | lim +∞ |
x² = +∞ |
donc
lim +∞ |
f(x) = +∞ |
3) Dérivabilité de f en 1-. On a f(1)=0
x-1≤0 donc x-1=-|x-1|=-√(x-1)².
lim 1- |
f (x)-f(1) | = | lim 1- |
√(x²-4x+3) |
| x-1 | -√(x-1)² |
| = | lim 1- |
- √( | (x-1)(x-3) | ) |
| (x-1)² | ||||
| = | lim 1- |
- √( | x-3 | ) |
| x-1 |
on a
lim 1- |
x-3 | = | -1 |
| x-1 | 0- |
donc
lim 1- |
√( | x-3 | ) = +∞ |
| x-1 |
Et donc
lim 1- |
f (x)-f(1) | = - ∞ |
| x-1 |
et cela signifie que f n'est pas dérivable au point 1
et de plus la courbe (C) admet une demi-tangente verticale au point d'abscisse 1.
Dérivabilité de f en 3+. On a f(3)=0
x-3 ≥0 donc x-3=|x-3|=√(x-3)².
lim 3+ |
f (x)-f(3) | = | lim 3+ |
√(x²-4x+3) |
| x-3 | √(x-3)² |
| = | lim 3+ |
√( | (x-1)(x-3) | ) |
| (x-3)² | ||||
| = | lim 3+ |
√( | x-1 | ) |
| x-3 |
on a
lim 3+ |
x-1 | = | 2 |
| x-3 | 0+ |
donc
lim 3+ |
√( | x-1 | ) = +∞ |
| x-3 |
Et donc
lim 3+ |
f (x)-f(3) | = + ∞ |
| x-3 |
et cela signifie que f n'est pas dérivable au point 3
et de plus la courbe (C) admet une demi-tangente verticale au point d'abscisse 3.
4) Le polynôme p(x)=x²-4x+3 est strictement positif et dérivable sur D\{1;3} donc f est dérivable sur D\{1;3}.
Soit x∈D\{1;3}
| f '(x) = | (x²-4x+3)' |
| 2√(x²-4x+3) | |
| = | 2x-4 |
| 2√(x²-4x+3) | |
| = | 2(x-2) |
| 2√(x²-4x+3) | |
| = | x-2 |
| √(x²-4x+3) |
Ainsi
| f '(x) = | x-2 |
| f(x) |
Signe de f'(x)
f'(x)=0 ⇔ x-2= 0 ⇔ x=0.
f'(x) > 0 ⇔ x > 2
donc f est strictement croissante sur I=[2;+∞[∩D
ou encore sur I=[3;+∞[ car [2;3[⊄D.
f'(x) < 0 ⇔ x < 2
donc f est strictement décroissante sur J=]-∞2[∩D
ou encore sur J=]-∞;1] car ]1;2]⊄D.
| x | -∞ | 1 | 3 | +∞ | |||
| f' (x) | - | 0 | 0 | + | |||
| f | +∞ | ↘ |
0 |
0 |
↗ |
+∞ |
