Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = - |x-1|+	1
	x-1

1) Ecrire f(x) sans valeur absolue.
2) Calculer les limites suivantes

lim -∞	f(x)		lim +∞	f(x)
lim 1-	f(x)		lim 1+	f(x)

3) Etudier la monotonie de f et tracer son tableau de variations f.

Correction

1) D={x∈IR / x-1≠0} =]-∞;1[∪]1;+∞[.
On écrit f(x) sans valeur absolue.

{	f(x) = x-1+	1	si x< 1
		x-1
	f(x) = -x+1+	1	si x> 1
		x-1

2)	lim ±∞	1	=	lim ±∞	1	= 0
		x-1			x

donc

lim -∞	f(x) =	lim -∞	x-1 = - ∞
lim +∞	f(x) =	lim +∞	-x+1 = - ∞

Limite de f en 1. On étudie le signe de x-1 au voisinage de 1 car f n'est pas définie en 1.

x		-∞		1		+∞
f(x)			-	||	+

lim 1+	1	=	1	= +∞
	x-1		0+

donc

lim 1+	f(x)	=	lim 1+	-x+1 +	lim 1+	1
						x-1

ainsi

lim 1+

f(x) = 0+∞=+∞

lim 1-	1	=	1	= -∞
	x-1		0-

donc

lim 1-	f(x)	=	lim 1-	x-1 +	lim 1-	1
						x-1

ainsi

lim 1-

f(x) = 0-∞ = -∞

2) Monotonie de f sur I=]-∞ ; 1[.Soit x∈I

f(x) = x-1+	1	si x< 1
	x-1

donc

f'(x) = 1-	1	=	x(x-2)
	(x-1)²		(x-1)²

f'(x)=0⇔x(x-2)=0⇔x=0 ou x=2
2∉]-∞; 1[ donc x=0.
f est strictement croissante sur ]-∞;0[ et strictement décroissante sur [0; 1[.

Monotonie de f sur J=]1;+∞[. Soit x∈J

f(x) = -x+1+	1	si x> 1
	x-1

donc

f'(x) = -1-	1
	(x-1)²

(∀x∈]1;+∞[): f'(x)< 0 donc f est strictement décroissante sur ]1;+∞[.

La fonction dérivée de f est définie par

{	f'(x) = 1-	1	si x < 1
		(x-1)²
	f'(x)= -1-	1	si x > 1
		(x-1)²

x	-∞		0		1			+∞
f'(x)		+	0	-			-
f	-∞	↗	-2	↘	-∞	+∞	↘	-∞