Dérivation (14)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | x |
| √(|x+1|) |
1) Déterminer D, le domaine de définition de f.
2) Calculer les limites suivantes
lim (-1) |
f(x) | lim -∞ |
f(x) | lim +∞ |
f(x) |
3) Calculer f'(x) et étudier son signe puis tracer le tableau de variations de f sur D.
Correction
1) D={x∈IR/ |x+1|> 0}
={x∈IR/ x+1≠0}
=]-∞;-1[∪]-1;+∞[.
On peut écrire f(x) sans valeur absolue
x≥1 ⇔ |x+1|=x+1.
x≤1 ⇔ |x+1|=-x-1.
Donc
| { | f(x) = | x | si x< -1 |
| √(-x-1) | |||
| f(x)= | x | si x> -1 | |
| √(x+1) |
lim -∞ |
x | = | lim -∞ |
x√(-x-1) |
| √(-x-1) | -x-1 | |||
| = | lim -∞ |
x | lim -∞ |
√(-x-1) |
| -x-1 |
| = | lim -∞ |
x | lim -∞ |
√(-x-1) |
| -x |
lim -∞ |
f(x) = | = -1.(+∞) = - ∞ |
lim +∞ |
x | = | lim +∞ |
x√(x+1) |
| √(x+1) | x+1 | |||
| = | lim +∞ |
x | lim +∞ |
√(x+1) |
| x+1 |
| = | lim +∞ |
x | lim +∞ |
√(x+1) |
| x |
lim +∞ |
f(x) | = 1.(+∞) = + ∞ |
On a |x+1|≥0 donc
lim -1 | x | = | -1 | - ∞ |
| √(|x+1|) | 0+ |
Ainsi
lim -1 |
f(x) | = - ∞ |
2) Monotonie de f sur I=]-∞;-1[
| f(x) = | x | si x< -1 |
| √(-x-1) |
x→(-x-1) est strictement positive sur I et dérivable sur IR et en particulier sur I.
De même x→x est dérivable sur I alors f est dérivable sur I et on a
| f '(x) = | √(-x-1) - x(√(-x-1))' |
| (√(-x-1))² | |
| = | 2(√(-x-1))² + x |
| 2(-x-1)√(-x-1) |
Ainsi
| f '(x) = | -x-2 |
| 2(-x-1)√(-x-1) |
f'(x) est de signe de -x-2.
f'(x)=0 ⇔ -x-2=0⇔x=-2
f est strictement croissante sur ]-∞;-2]
et strictement décroissante sur [-2;-1[.
Monotonie de f sur J=]-1;+∞[.
| f(x) = | x | si x> -1 |
| √(x+1) |
x→(x+1) est strictement positive sur J et dérivable sur IR et en particulier sur J
de même x→x est dérivable sur J
alors f est dérivable sur J.
Soit x∈J
| f '(x) = | √(x+1) - x(√(x+1))' |
| (√(x+1))² | |
| = | 2(√(x+1))² - x |
| 2(x+1)√(x+1) | |
| = | x+2 |
| 2(x+1)√(x+1) |
f'(x) est de signe de x+2.
f'(x)=0⇔ x+2=0⇔x=-2
-2∉I2 et x+2>0 et donc
f est strictement croissante sur
]-1;+∞[.
La fonction dérivée de f est définie par
| { | f '(x) = | -x-2 | si x <-1 |
| 2(-x-1)√(-x-1) | |||
| f '(x) = | x+2 | si x>-1 | |
| 2(x+1)√(x+1) |
Tableau de variations de f
| x | -∞ | -2 | -1 | +∞ | |||||
| f'(x) | + | 0 | - | + | |||||
| f | -∞ |
↗ |
-2 | ↘ |
-∞ |
-∞ |
↗ |
+∞ | |