Dérivation (15)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = √( | x+1 | ) |
| x-1 |
1) Déterminer D, le domaine de définition de f.
2) Calculer les limites suivantes
lim (-1) |
f(x) | lim 1+ |
f(x) |
lim -∞ |
f(x) | lim +∞ | f(x) |
3) Etudier la dérivabilité de f en -1.
4) Montrer que ∀x∈I=D\{-1}
| f '(x) = | -1 | f (x) |
| x²-1 |
puis étudier son signe sur I et tracer le tableau de variations de f.
Correction
1) D={x∈IR/ f(x)∈IR}.
On étudie le signe de g(x)=(x+1)÷(x-1)
| x | -∞ | -1 | 1 | +∞ | |||
| x+1 | - | 0 | + | | | + | ||
| x-1 | - | | | - | 0 | + | ||
| (x+1)÷(x-1) | + | 0 | - | || | + |
donc D=]-∞;-1]∪]1;+∞[.
2) Limite en (-1)
lim -1 |
x+1 | = | 0 | =0 |
| x-1 | -2 |
| ⇒ | lim -1 |
√( | x+1 | ) = 0 |
| x-1 |
| ainsi | lim -1 |
f(x)= 0 |
Limite de f en +∞
lim +∞ |
x+1 | = | lim +∞ |
x | = | 1 |
| x-1 | x |
| ⇒ | lim +∞ |
√( | x+1 | ) = √(1) |
| x-1 |
donc
lim +∞ |
f(x) | = 1 |
Limite de f en -∞
lim -∞ |
x+1 | = | lim -∞ |
x | = | 1 |
| x-1 | x |
| ⇒ | lim -∞ |
√( | x+1 | ) = √(1) |
| x-1 |
donc
lim -∞ |
f(x) | = 1 |
Limite à droite à 1
x > 1 ⇔ x-1 > 0.
| x | -∞ | 1 | +∞ | |||
| x-1 | - | 0 | + |
lim 1+ |
x+1 | = | 2 | = +∞ |
| x-1 | 0+ |
lim 1+ |
f(x) | = | lim 1+ |
√( | x+1 | ) = +∞ |
| x-1 |
3) Dérivabilité de f en (-1)-. On a f(-1)=0
x+1≤0 donc x+1=-|x+1|=-√(x+1)².
lim (-1)- |
f (x)-f(-1) |
| x+1 |
| = | lim (-1)- |
- 1 | × √( | x+1 | ) | |
| √(x+1)² | x-1 |
| = | lim (-1)- |
- √( | x+1 | ) |
| (x+1)²(x-1) | ||||
| = | lim (-1)- |
- √( | 1 | ) |
| (x+1)(x-1) |
On a
lim (-1)- |
1 | = | 1 |
| (x+1)(x-1) | 0+ |
donc
lim (-1)- |
√( | 1 | )=+∞ |
| (x+1)(x-1) |
Ainsi
lim (-1)- |
f (x)-f(-1) | = - ∞ |
| x+1 |
et cela signifie que f n'est pas dérivable au point (-1)
et de plus la courbe (C) admet une demi-tangente verticale au point d'abscisse (-1).
4) On pose f(x)=√(g(x))
la fonction g est une fonction de référence donc dérivable sur IR\{1} et en particulier sur I=D\{-1}.
g est strictement positive sur I donc f est dérivable sur I.
Soit x∈I
| f '(x) = | g '(x) |
| 2√(g(x)) |
on a
| g '(x) = | 1(x-1)-(x+1)1 | = | -2 |
| (x-1)² | (x-1)² |
donc
| f '(x) = | -2 |
| 2(x-1)²√(g(x)) |
Ou encore
| f '(x) = | -√(g(x)) |
| (x-1)²(g(x)) |
ainsi
| f '(x) = | -√(g(x)) | = | -f(x) |
| (x-1)(x+1) | x²-1 |
On a (∀x∈I): f(x)>0 et x²-1>0 donc f'(x)<0
ainsi f est strictement décroissante sur
]-∞;-1[ et sur ]1;+∞[.
| x | -∞ | -1 | 1 | +∞ | |||
| f '(x) | -∞ | || | || | ||||
| f | 1 | ↘ |
0 |
+∞ | ↘ |
1 |