Exercice 1 tp

Résoudre l'équation différentielle
(E) y"+5y=0
c'est à dire donner la solution générale de (E).

Correction

On a w²=5 donc w=√5 ou w=-√5.
La solution générale de (E) est l'ensemble des solutions y définies par (∀x∈IR):
y(x)=αcos(√5)x+βsin(√5)x tels que (α∈IR)(β∈IR).

Notons que la solution ne change pas si on pose w=-√5.

Exercice 2 tp

Résoudre l'équation différentielle
(E): 3y"=-9y.

Correction

3y"=-9y⇔3y"+9y=0
⇔y"+3y=0
donc w²=3 ou encore w=√(3) ou w=-√(3).
La solution générale de l'équation (E) est l'ensemble des solutions y définies par x∈IR:
y(x)=αcos√(3)x+βsin√(3)x tels que (α∈IR)(β∈IR).

Exercice 3 tp

1) Déterminer la solution générale de l'équation différentielle
(E): y"+4y=0
2) Déterminer f, la solution générale de (E) qui vérifie les deux conditions f(π/4)=1 et f(0)=2.

Correction

1) Solution générale de l'équation différentielle (E) est l'ensemble des solutions y de sorte que y(x)=αcos2x+βsin2x et (α∈IR)(β∈IR).
2) f est une solution de (E)
donc f(x)=αcos2x+βsin2x.
f(0)=2 ⇒ α=2.
f(π/4)=1 ⇒
2cos(π/2) +βsin(π/2)=1
⇒ β=1
ainsi f(x)=2cos2x+sin2x.

Exercice 4 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=kcos(-3x+θ)
Montrer que f est une solution de l'équation différentielle
y"+9y=0.

Exercice 5 tp

1) Déterminer la solution générale de l'équation différentielle
(E): y"+2y=0.
2) Déterminer f la solution de l'équation (E) qui vérifie les deux conditions f((π/4)√(2))=2 et f(0)=3.

Correction

1) Solution générale de l'équation différentielle (E) est l'ensemble des solutions y
de sorte que y(x)=αcos√(2)x+βsin√(2)x et (α∈IR)(β∈IR).

2) f est une solution de (E)
donc f(x)=αcos√(2)x+βsin√(2)x
puisque f(0)=3 alors α=3.
puisque f((π/4)√(2))=2 alors
3cos(π/2) +βsin(π/2)=2
ou encore β=2
et donc f(x)=3cos√(2)x+2sin√(2)x.