Dérivation (8)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | x³ + 1 | si x≤2 | |
| 3 | |||
| f(x) = | 2x²-4x+3 | si x>2 |
Etudier la dérivabilité de f en 2.
Correction
On ne peut pas remplacer 2 dans l'expression f(x)=2x²-4x+3
car elle est spécifiée pour des nombres supérieur strictement à 2.
On a donc f(2)=(2³+1)÷3=3.
lim 2+ |
f(x)-f(2) | = | lim 2+ |
2x²-4x+3-3 | x-2 | x-2 |
| = | lim 2+ |
2x(x-2) | = | lim 2+ |
2x = 4 | x-2 |
donc f est dérivable à droite en 2 et f'd(2)=4
lim 2- |
f(x)-f(2) | x-2 |
| = | lim 2- |
x³+1-9 |
| 3(x-2) |
=lim 2- |
x³-2³ | = | lim 2- |
(x²+2x+4) | = 4 | 3(x-2) | 3 |
Donc f est dérivable en
2-
et f'g(2)=4
puisque f'g(2)=f'd(2) alors f est dérivable en 2.
Remarque dans ce cas la courbe (C) admet une tangente au point d'abscisse 2 d'équation
T: y=f'(2)(x-2)+f(2)
ou encore T: y=4x-5.
Exercice 2 tp
Calculer la limite suivante en utitisant la dérivée
lim 4 |
√(5x+5) - 5 |
| x - 4 |
Correction
On considère la fonction f définie par
f(x)=√(5x+5).
D=[-1;+∞[ donc 4∈D
la fonction x→5x+5 est strictement positive et dérivable sur D\{-1}.
Donc f est dérivable sur D\{-1} et en particulier au point 4. On a f(4)=5
| f'(4) = | lim 4 |
f(x) - f(4) |
| x - 4 | ||
| = | lim 4 |
√(5x+5) - 5 |
| x - 4 |
f'(4) est la limite demondée.
Soit x∈D\{-1}
| f'(x) = | (5x+5)' | = | 5 |
| √(5x+5) | 2√(5x+5) |
donc
| f '(4) = | 1 |
| 2 |
ainsi
lim 4 |
√(5x+5) - 5 | = | 1 |
| x - 4 | 2 |
Exercice 3 tp
Calculer la limite suivante en utitisant la dérivée
lim π |
cos(x) + 1 |
| x - π |
Exercice 4 tp
Calculer la limite suivante en utitisant la dérivée
lim π |
xsin(x) |
| x-π |