Dérivation (9)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | x²+x-1 |
| 2x-2 |
1) Calculer les limites suivantes
lim 1- |
f(x) | lim 1+ |
f(x) | |
lim - ∞ |
f(x) | lim +∞ |
f(x) |
2) Etudier les variations de f et déduire ses extremums
3) Déduire le signe de f sur l'intervalle
]1;+∞[.
Correction
1) D={x∈IR/ 2x-2≠0}
=]-∞;1[∪]1;+∞[.
(a) On a
lim -∞ |
f(x) = | lim -∞ |
x² | = | lim -∞ |
1 | x |
| 2x | 2 |
Donc
lim - ∞ |
f(x) | = - ∞ |
(b) On a
lim +∞ |
f(x) = | lim +∞ |
x² | = | lim +∞ |
1 | x |
| 2x | 2 |
donc
lim + ∞ |
f(x) | = + ∞ |
(c) Limite de f au point 1.
On étudie le signe de 2x-2 au voisinage de 2
| x | -∞ | 1 | +∞ | |||
| 2x+2 | - | || | + |
lim 1- |
f(x) | = | lim 1- |
x²+x-1 | = | 1 |
| 2x-2 | 0- |
Donc
lim 1- |
f(x) | = - ∞ |
(d) On a
lim 1+ |
f(x) | = | lim 1+ |
x²+x-1 | = | 1 |
| 2x-2 | 0+ |
donc
lim 1+ |
f(x) | = + ∞ |
2) f est une fonction rationnelle donc dérivable sur D=IR\{1}. Soit x∈D
| f'(x) = | (x²+x-1)'(2x-2)-(2x-2)'(x²+x-1) | |
| (2x-2)² |
| = | (2x+1)(2x-2)-2(x²+x-1) | = | 2x²-4x |
| (2x-2)² | (2x-2)² |
donc
| f'(x) = | x²-2x |
| 2(x-1)² |
f'(x)=0⇔ (x=0 ou x=2)
f est strictement croissante sur ]-∞;0]
et strictement croissante sur
[2;+∞[.
f est strictement décroissante sur
[0;1[
et strictement décroissante sur
]1;2].
Tableau de variations de f
| x | -∞ | 0 | 1 | 2 | +∞ | |||||
| f'(x) | + | 0 | - | - | 0 | + | ||||
| f | -∞ |
↗ |
0,5 | ↘ |
-∞ |
+∞ | ↘ |
2,5 |
↗ |
+∞ |
f' s'annule au point 0 et change de signe de (+) à (-) donc f(0)=0,5 est une valeur maximale dans ]-∞;1[.
f' s'annule au point 2 et change de signe de (-) à (+)
donc f(2)=2,5 est une valeur minimale dans ]1;+∞[.
3) 2,5 est une valeur minimale de la fonction f en 2 sur l'intervalle I=]1;+∞[
cela signifie que (∀x∈I): f(x)≥2,5
2,5>0 donc( ∀x∈I): f(x)>0
ainsi f est strictement positive sur I.