Mathématiques du secondaire qualifiant

تحليلية الفضاء (4)

تمرين 1 tp

الفضاء 𝔼 منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i;j;k). لتكن u(1;2;a-b) و v(5;a+b;20) متجهتين.
حدد a و b بحيث تكون u و v مستقيميتين.

تصحيح

الطريقة الأولى
u و v مستقيميتان يعني (∃k∈IR): v=ku→.

يعني

{ 5 = 1k ⇔ {k=5
a+b = 2a+b=2
20 = k(a-b)a-b=4

يعني k=5 و a=7 و b=3

اذن v=5u وهذا يعني u و v مستقيميتان اذا كان a=7 و b=3.
ومنه فان u(1 ; 2 ; 4) و v(5 ; 10 ; 20).

الطريقة الثانية
u و v مستقيميتان يعني المحددات المستخرجة للمتجهتين u و v منعدمة يعني

1 5 = 0
2a+b
1 5 = 0
a-b20
2 a+b = 0
a-b20

يعني

{ a+b-10 = 0 ⇔ { a+b = 10
20-5(a-b) = 0a-b=4
40 - (a-b)(a+b) = 0a²-b² = 40
⇔ { a = 7
b = 3
a²-b² = 40

الزوج (7;3) يحقق المتساوية a²-b²=40 اذن a=7 و b=3.

1.3 شرط تحليلي لاستوائية ثلاث متجهات

1.3.1 محددة ثلاث متجهات في الفضاء

الفضاء 𝔼 منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i;j;k). لتكن u(x;y;z) و v(x';y';z') و w(x";y";z") ثلاث متجهات.

det(u;v;w) = x x' x"
yy'y"
zz'z"
= x y' y" - y x' x" + z x'x"
z' z" z' z" y' y"

= x(y'z"-z'y")-y(x'z"-z'x")+z(x'y"-y'x").

مثال
لتكن u(2;3;4) و v(-1;0;1) متجهتين و w(5;7;-1) ونقطة.
احسب D=det(u ; v ; w).

تصحيح

D = 2 07- 3 -15 + 4 -15
1 -1 1 -1 0 7

= 2(0-7)-3(1-5)+4(-7)=-30
اذن det(u ; v ; w) = -30.

1.3.2 مبرهنة

الفضاء 𝔼 منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i;j;k). لتكن u(x;y;z) و v(x';y';z') و w(x";y";z") ثلاث متجهات.
1) u و v و w مستوائية

x x' x" = 0
y y' y"
z z' z"

2) u و v و w غير مستوائية ⇔ det(u;v;w)≠0.