تحليلية الفضاء (4)
تمرين 1 tp
الفضاء 𝔼 منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i→;j→;k→).
لتكن u→(1;2;a-b) و v→(5;a+b;20) متجهتين.
حدد a و b بحيث تكون u→ و v→ مستقيميتين.
تصحيح
الطريقة الأولى
u→ و v→ مستقيميتان يعني (∃k∈IR): v→=ku→.
يعني
| { | 5 = 1k | ⇔ { | k=5 |
| a+b = 2 | a+b=2 | ||
| 20 = k(a-b) | a-b=4 |
يعني k=5 و a=7 و b=3
اذن
v→=5u→ وهذا يعني u→ و v→ مستقيميتان اذا كان a=7 و b=3.
ومنه فان u→(1 ; 2 ; 4) و v→(5 ; 10 ; 20).
الطريقة الثانية
u→ و v→ مستقيميتان يعني المحددات المستخرجة للمتجهتين u→ و v→ منعدمة
يعني
| 1 | 5 | = 0 | |
| 2 | a+b |
| 1 | 5 | = 0 | |
| a-b | 20 |
| 2 | a+b | = 0 | |
| a-b | 20 |
يعني
| { | a+b-10 = 0 | ⇔ { | a+b = 10 |
| 20-5(a-b) = 0 | a-b=4 | ||
| 40 - (a-b)(a+b) = 0 | a²-b² = 40 |
| ⇔ { | a = 7 |
| b = 3 | |
| a²-b² = 40 |
الزوج (7;3) يحقق المتساوية a²-b²=40 اذن a=7 و b=3.
1.3 شرط تحليلي لاستوائية ثلاث متجهات
1.3.1 محددة ثلاث متجهات في الفضاء
الفضاء 𝔼 منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i→;j→;k→). لتكن u→(x;y;z) و v→(x';y';z') و w→(x";y";z") ثلاث متجهات.
| det(u→;v→;w→) = | x | x' | x" | |
| y | y' | y" | ||
| z | z' | z" |
| = x | y' | y" | - y | x' | x" | + z | x' | x" | |||
| z' | z" | z' | z" | y' | y" |
= x(y'z"-z'y")-y(x'z"-z'x")+z(x'y"-y'x").
مثال
لتكن u→(2;3;4) و v→(-1;0;1) متجهتين و w(5;7;-1) ونقطة.
احسب D=det(u→ ; v→ ; w→).
تصحيح
| D = | 2 | 0 | 7 | - 3 | -1 | 5 | + 4 | -1 | 5 | |||
| 1 | -1 | 1 | -1 | 0 | 7 |
= 2(0-7)-3(1-5)+4(-7)=-30
اذن det(u→ ; v→ ; w→) = -30.
1.3.2 مبرهنة
الفضاء 𝔼 منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i→;j→;k→).
لتكن u→(x;y;z) و v→(x';y';z') و w→(x";y";z") ثلاث متجهات.
1) u→ و v→ و w→ مستوائية
| ⇔ | x | x' | x" | = 0 | ||
| y | y' | y" | ||||
| z | z' | z" |
2) u→ و v→ و w→ غير مستوائية ⇔ det(u→;v→;w→)≠0.