1.1.4 احداثيات AB^→

الفضاء 𝔼 منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→;k^→). نعتبر في 𝔼 نقطتين A(x_A;y_A;z_A) و B(x_B;y_B;z_B).
AB^→(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A).

مثال لتكن A(1;2;3) و B(-3;2;8) نقطتين من الفضاء 𝔼.
لدينا AB^→(-4;0;5).

1.1.5 احداثيات I منتصف القطعة [AB]

لتكن A(x_A;y_A;z_A) و B(x_B;y_B;z_B) نقطتين من الفضاء 𝔼. النقطة I(X_I;Y_I;Z_I) منتصف القطعة [AB] تعني

نكتب

مثال لتكن A(7;-3;2) و B(1;3;2) نقطتين في الفضاء 𝔼.
I(x_I;y_I;z_I) منتصف القطعة [AB] يعني

اذن I(4;0;2) منتصف [AB].

1.2 شرط تحليلي لاستقامية متجهتين

1.2.1 مبرهنة 1

الفضاء 𝔼 منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→;k^→). u^→(x;y;z) و v^→(x';y';z') مستقيميتان اذا وفقط اذا كان

ملاحظة هذه المحددات تسمى المحددات المستخرجة للمتجهتين u^→ و v^→.

مثال
بين أن u^→(1;2;-4) و v^→(-2;-4;8) متجهتان مستقيميتان.

تصحيح
المحددات المستخرجة للمتجهتين u^→ و v^→ منعدمة
1.(-4)-2.(-2)= 0.
1.10-(-5).(-2)= 0.
2.8-(-5).(-2)= 0.
اذن u^→ و v^→ مستقيميتان.

ملاحظة v^→=-2u^→ (اذن مستقيميتان).

1.2.2 مبرهنة 2

لتكن u^→(x;y;z) و v^→(x';y';z') متجهتين من الفضاء 𝔼.
u^→ و v^→ غير مستقيميتان اذا وفقط اذا كان

مثال
بين أن u^→(1;2;5) و v^→(-2;1;4) متجهتان غير مستقيميتان.

تصحيح
u^→(1;2;3) و v^→(-2;1;4)
لدينا من بين المحددات المستخرجة محددة غير منعدمة:
1.1-2.(-2)=5≠0 اذن المتجهتان غير مستقيميتان.

تمرين 1 tp

الفضاء 𝔼 منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→;k^→). نعتبر في 𝔼 النقط A(-1;0;1) و B(2;1;3) و C(4;1 ;-4).
ادرس استقامية النقط A و B و C.

تصحيح

ندرس استقامية المتجهتين AB^→(3;1;2) و AC^→(5;1;-5).

اذن AB^→ و AC^→ غير مستقيميتان وبالتالي A و B و C نقط غير مستقيمية.