Mathématiques du secondaire qualifiant

Espace analytique (3)

Exercice 1 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i;j;k). Soient u(1;2;a-b) et v(5;a+b;20) deux vecteurs.
Déterminer a et b pour que u et v soient colinéaires.

Correction

Première méthode
u et v sont colinéaires signifie (∃k∈IR): v=ku

Signifie

{ 5 = 1k ⇔ {k=5
a+b = 2a+b=2
20 = k(a-b)a-b=4

signifie

{k=5
a = 7
b = 3

donc v =5u et cela signifie que u et v sont colinéaires si a=7 et b=3.
ainsi u(1 ; 2 ; 4) et v(5 ; 10 ; 20).

Deuxième méthode
u et v sont colinéaires signifie que les déterminants extraits de u et v sont tous nuls signifie

1 5 = 0
2a+b
1 5 = 0
a-b20
2 a+b = 0
a-b20

Signifie

{ a+b-10 = 0 ⇔ { a+b = 10
20-5(a-b) = 0a-b=4
40 - (a-b)(a+b) = 0a²-b² = 40
⇔ { a = 7
b = 3
a²-b² = 40

le couple (7;3) vérifie l'équation a²-b²=40 donc a=7 et b=3.

2.3 Condition analytique de coplanarité de 3 vecteurs

2.3.1 Déterminant de 3 vecteurs dans l'espace

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i;j;k). Soient u(x;y;z) ; v(x';y';z') et w(x";y";z") trois vecteurs.

det(u;v;w) = x x' x"
yy'y"
zz'z"
= x y' y" - y x' x" + z x'x"
z' z" z' z" y' y"

= x(y'z"-z'y")-y(x'z"-z'x")+z(x'y"-y'x").

Exemple
Soient u(2;3;4); v(-1;0;1) et w(5;7;-1) trois vecteurs.
Calculer D=det(u ; v ; w)

Correction

D = 2 07- 3 -15 + 4 -15
1 -1 1 -1 0 7

= 2(0-7)-3(1-5)+4(-7)=-30
donc det(u ; v ; w) = -30.

2.3.2 Théorème

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i;j;k). Soient u(x;y;z); v(x';y';z') et w(x";y";z") trois vecteurs.
1) u; v et w sont coplanaires

x x' x" = 0
y y' y"
z z' z"

2) u ; v et w sont non coplanaires ⇔ det(u;v;w)≠0.