5.3 Positions relatives d’une droite et un plan

5.3.1 Théorème

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→). On considère dans 𝔼 un plan P=P(A;u^→;v^→) et une droite (D)=D(B;w^→).
(D)||P ⇔ u^→; v^→ et w^→ sont coplanaires.
(det(u^→ ; v^→ ; w^→) = 0).

Note Soit (D)||P et B∈(D)
Si B∈P alors (D)⊂P.
Si B∉(P) alors (D) et P sont strictement parallèles.

5.3.2 Propriété

Soient P=P(A;u^→;v^→) un plan et (D)=D(B;w^→) une droite.
P et (D) sont sécants si et seulement si u^→; v^→ et w^→ ne sont pas coplanaires.
(det(u^→;v^→;w^→)≠0).

Exercice 1 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→). On considère dans 𝔼 les points A(1;0;2); B(1;1;2) et C(-1;1;1).
1) Montrer que A ; B et C ne sont pas alignés.
2) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

3) On considère deux plans
P: 2x+y+2z+1=0.
Q: x-2y+4z=0.
(a) Montrer que P et Q se coupent selon une droite (D) qui doit être déterminée.
(b) Etudier la position relative du plan (ABC) et la droite (D).