تمرين 1 tp

u^→(1;2;3); v^→(4.5.6) و w^→(7;8;9)
1- احسب det(u^→;v^→;w^→)
2- هل u^→; v^→; w^→ مستوائية ?

تصحيح

1) det(u^→;v^→;w^→)=

	1	4	7	=
	2	5	8
	3	6	9

1	5	8		- 2	4	7		+ 3	4	7
	6	9			6	9			5	8

=1(5.9-6.8)-2(4.9-6.7)+3(4.8-5.7)
اذن det(u^→;v^→;w^→)=0
2) det(u^→;v^→;w^→)=0, اذن u^→; v^→ و w^→ مستوائية

تمرين 2 tp

لتكن u^→(2;4;3); v^→(1;2;3) و w^→(4;5;6)
1. احسب det(u^→;v^→;w^→)
2. هل u^→; v^→;w^→ مستوائية ?

تصحيح

det(u^→;v^→;w^→)=

	2	1	4	=
	5	2	5
	4	3	6

2	2	5		- 5	1	4		+ 4	1	4
	3	6			3	6			2	5

=2(2.6-3.5)-5(1.6-3.4)+4(1.5-2.4)
اذن det(u^→;v^→;w^→)=12
2. det(u^→;v^→;w^→)≠0 اذن u^→; v^→; w^→ ليست مستوائية

تمرين 3 tp

ليكن P مستوى مارا من النقطة A(1;2;3) وموجه بالمتجهتين u^→(4;-1;5) و v^→(0;7;-2)
1) حدد تمثيلا بارامتريا للمستوى P.
2) هل النقطة B(-3;10;-4) تنتمي الى المستوى P?

تصحيح

1)
M(x;y;z)∈(P)⇔

{	x=1+4t	k;r∈IR
	y=2-t+7r
	z=3+5t-2r

هذه النظمة تسمى تمثيلا بارامتريا للمستوى (P)

2) ندرس اذا كان المثلوث (-3;10;-4) يحقق النظمة اي هل
∃t;r∈IR, OB^→=tu^→+rv^→
من اجل ذلك نضع x=-3 ; y=10 ; z=-4

{	-3=1+4t	⇔	{	4t=-4
	10=2-t+7r			-t+7r=8
	-4=3+5t-2r			5t-2r=-7

(1) 4t=-4⇔t=-1
(2) -(-1)+7r=8⇔r=1
(3) 5.(-1)-2.1=-5-2=-7
ومنه فان ∃t=-1;r=1/ OB^→=-u^→+v^→
وبالتالي B∈P

تمرين 4 tp

ليكن P مستوى مارا من A(1;2;3) وموجها ب u(3;4;5) و v(3;0;2)
1- تحقق ان المستوى P موجودا
2- حدد معادلة ديكارتية للمستوى P

تصحيح

1- نتحقق اولا ان u^→ و v^→ غير مستقيميتين
نفترض ∃k∈IR, v^→=ku^→ اذن
3=3k ; 0=4k ; 2=5k
k=0 و k=1 و k=2/5
وهذا غير ممكن اذن
u^→ و v^→ غير مستقيميتين وبالتالي المستوى P موجودا
2- M(x;y;z)∈P⇔det(AM^→;u^→;v^→)=0

det(AM→;u→;v→)=0⇔
	x-1	3	3	=0
	y-2	4	0
	z-3	5	2

⇔(x-1)(8-0)-(y-2)(6-15)+(z-3)(0-12)=0
⇔8x-8+9y-18-12z+36=0
وبالتالي 8x+9y-12z+12=0 معادلة ديكارتية للمستوى P

تمرين 5 tp

نعتبر في الفضاء المنسوب الى معلم متعامد ممنظم المستقيم (D)المعرف بالتمثيل البارامتري التالي

(D)	x=2+2t	t∈ ℝ
	y = 5t
	z =1+7t

والمستوى P المعرف بالمعادلة x+y+z+1=0
1) حدد معادلتين ديكارتيتين للمستقيم (D)
2) حدد متجهتين موجهتين للمستوى P
3) ادرس الاوضاع النسبية للمستوى P والمستقيم (D)

4) نعتبر المستوى Q المعرف بالتمثيل البارامتري التالي

Q	x=-t	t;k∈ ℝ
	y = t+k
	z =1+2t-k

ادرس الاوضاع النسبية للمستويين P و Q