تمرين 1 tp

ليكن (D) مستقيما معرفا بمعادلتي ديكارتيتين

x-3	=	y+1	=	z-3
3		-2		2

1) حدد تمثيلا باترامتريا للمستقيم (D).
2) نعتبر مستقيما (Δ) معرفا ب

{	x-y-z+2=0
	3x+y+2z-3=0

ادرس الوضع النسبي للمستقيمين(D) و (Δ)

تمرين 2 tp

لتكن نقطة A(1;2;3) من الفضاء و u^→(1;-1;2) ; v^→(1;0;3) متجهتين
1) حدد معادلة ديكارتية للمستوى الموجه ب u^→ ; v^→

تصحيح

اولا نتأكد ان u^→ ; v^→ غير مستقيميتين لذلك يكفي ان تكون احدى المحددات المستخرجة للمتجهتين غير منعدمة

	1	2	= 1.(-1)-2.1=-3≠0
	1	-1

ومنه فان u^→ ; v^→ غير مستقيميتين وبالتالي المستوى محددا

M(x;y;z)∈P⇔det(AM^→;u^→;v^→)=0

	x-1	1	1	= 0
	y-2	-1	0
	z-3	2	3

⇔

(x-1)	-1	1		-(y-2)	1	0
	2	3			2	3

+(z-3)	1	1	=-5(x-1)-3(y-2)+1(z-3)=0
	-1	0

وبالتالي معادلة المستوى كالتالي
P: 5x+3y-z-8=0

تمرين 3 tp

نعتبر في الفضاء المنسوب الى معلم متعامد ممنظم النقط A(1;0;2); B(1;1;2); C(-1;1;1)
1) بين ان النقط A; B; C غير مستقيمية
2) حدد معادلة ديكارتية للمستوى ABC
3) نعتبر المستويين
P: 2x+y+2z+1=0
Q: x-2y+4z=0
i1. بين ان المستويين P و Q متقاطعان وفق مستقيم ينبغي تحديد تمثيله البارامتري
i2. ادرس الاوضاع النسبية للمستوى ABC والمستقيم (D)

تصحيح

1) لدينا َAB(0;1;0) و AC(-2;1;-1)
هل يوجد عدد حقيقي k بحيث
AC^→=kAB^→
-2=0k ; 1=1k ; -1=0k ?
-2=0 ; k=1 ; -1=0 وهذا غير ممكن
ومنه فان AB^→ و AC^→ غير مستقيمية اي النقط A; B و C غير مستقيمية
2) A; B و C غير مستقيمية اذن تحدد مستوى وحيدا (ABC)
M(x;y;z)∈(ABC)⇔det(AM^→;AB^→;AC^→)=0

	x-1	0	-2	= 0
	y-0	1	1
	z-2	0	-1

⇔

(x-1)	1	1		-(y)	0	-2
	0	-1			0	-1

+(z-2)	0	-2	=-(x-1)-0(y)+2(z-2)=0
	1	1

وبالتالي معادلة المستوى (ABC) كالتالي
-x+2z-3=0 ∨ x-2z+3=0
3) (q1) لدينا
(P): 2x+y+2z+1=0
(Q): x-2y+4z=0
u^→(2;-4;2) متجهة منظمية على P
v^→(1;-2;4) متجهة منظمية على Q
هل يوجد عدد حقيقي k بحيث u^→=kv^→ ?
2=1.k; -4=-2k ; 2=4k ?
k=2 ; k=2÷4=0,5 وهذا غير ممكن
اذن u^→ و v^→ غير مستقيمية ومنه فان المستويين (P) و (Q) متقاطعان وفق مستقيم (D)

لتحديد (D) نقوم كما يلي
M(x;y;z)∈(D)⇔

{	2x+y+2z+1=0
	x-2y+4z=0
{	2x+2y+4z+2=0 , (1)
	x-2y+4z=0 , (2)

للتخلص من z نقوم بالعملية التالية
(1)-(2) ⇒ x+4y+2=0
للتخلص من y نقوم بالعملية التالية
(1)+(2) ⇒ 3x+8z+2=0
نضع x=t∈IR فنحصل على النظمة التالية

{	x =	t				; t∈IR
	y =	-1	-	1	t
		2		4
	z =	-1	-	3	t
		4		8

التي تمثل تمثيلا بارامتريا للمستقيم (D)
(q2) لدراسة الاوضاع النسبية للمستوى (ABC) والمستقيم (D) يمكن ان نحل النظمة التالية

{	x-2z+3=0	; (1)				; t∈IR
	x =	t
	y =	-1	-	1	t
		2		4
	z =	-1	-	3	t
		4		8

نعوض x; y ; z في المعادلة (1) فنحصل على
t=-2 ثم نعوض قيمة t في كل من x; y ; z ومنه فان

(ABC)∩(D)={K(-2 ; 0 ;	1	)}
	2