Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par

et (C) sa courbe dans un repère (O;i^→;j^→).
1) Montrer que f est périodique et déterminer I son domaine réduit d'étude.
2) Etudier la monotonie de f et tracer son tableau de variations sur [0;2π].
3) Tracer la courbe (C) sur [0;2π].

Correction

1) Les fonctions cos et sin sont définies sur IR et périodiques de période 2π.
La période de la fonction cos2x est π
mais la fonction f est une somme de deux fonctions périodiques et donc la période la plus grande doit être prise.
On a D=IR donc (∀x∈IR): x+2π∈IR et x-2π∈IR.

f(x+2π)=f(x) signifie que f est périodique de période 2π
il suffit donc d'étudier f sur un intervalle d'amplitude 2π, soit I=[0;2π]
2) Les fonctions x→2x ; cos et sin sont dérivables sur IR donc f est dérivble sur IR et en particulier sur I.

Soit x∈I
f'(x)=2cos(x)-sin(x)cos(x) car sin2x=2sinxcosx
ainsi f'(x)=cos(x)(2-sinx)=0 ⇔ (cosx=0 ou sinx=2) ⇔ cosx=0 ⇔ x=π÷2[2π]
x∈I, ⇒ x=π÷2 ou x=3π÷2
2-sinx≥0 donc f' est de signe de cosx.

3) La courbe (C)