Etude des fonctions numériques (7)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction définie par
| f(x) = | x²-2x+2 |
| x-1 |
et (C) sa courbe représentative dans un repère (O;i→;j→).
1) Montrer que le point W(1;0) est un centre de symétrie de (C).
2) Déterminer les asymptotes à la courbe (C).
Correction
1) D={x∈IR/ x-1≠0}=IR\{1}
Soit x∈D montrons que 2.1-x∈D.
2-x=1⇔-x=1-2=-1⇔x=1
et puisque x≠1 alors (2-x)∈D.
| f(2-x) = | (2-x)²-2(2-x)+2 |
| 2-x-1 | |
| = | x²-4x+4-4+2x+2 |
| 1-x |
| f(2-x) = | x²-2x+2 |
| -(x-1) | |
| = - | x²-2x+2 |
| (x-1) |
donc f(2-x)=-f(x)=2.0-f(x)
ainsi le point W(1;0) est un centre de symétrie de la courbe (C).
2) On calcule les limites de f au point 1 et en ±∞.
(a) Pour déterminer la limite de f au point 1 on étudie le signe de x-1 au voisinage de 1.
| x | -∞ | 1 | +∞ | |||
| x-1 | - | 0 | + |
donc
lim 1- | f(x) = | 1 | = -∞ |
| 0- |
On déduit donc que la droite d'équation x=1 est une asymptote à la courbe (C) à gauche à 1.
lim 1+ | f(x) = | 1 | = +∞ |
| 0+ |
on déduit donc que la droite d'équation x=1 est une asymptote à la courbe (C) à droite à 1.
(b) Limite de f en -∞.
lim -∞ |
f(x) = | lim -∞ |
x² | = | lim -∞ |
x = -∞ |
| x |
| et | lim -∞ |
f(x) | = | lim -∞ |
x² | = 1 |
| x | x² |
on calcule la limite de f(x)-x en -∞.
lim -∞ |
f(x) - x = | lim -∞ |
x²-2x+2 - x²+x |
| x-1 |
| = | lim -∞ |
-x+2 | = | lim -∞ |
-x | = -1 |
| x-1 | x |
On déduit donc que la droite d'équation y=x-1 est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de -∞.
(c) Limite de f en +∞.
lim +∞ |
f(x) = | lim +∞ |
x² | = | lim +∞ |
x = +∞ |
| x |
| et | lim +∞ |
f(x) | = | lim +∞ |
x² | = 1 |
| x | x² |
On calcule la limite de f(x)-x en +∞.
lim +∞ |
f(x) - x = | lim +∞ |
x²-2x+2 - x²+x |
| x-1 |
| = | lim +∞ |
-x+2 | = | lim +∞ |
-x | = -1 |
| x-1 | x |
on déduit donc que la droite d'équation y=x-1 est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de +∞.