2- Représentation graphique d'une fonction

Exercice 1 tp

On considère une fonction f définie par

f(x) = x -	x
	x²-1

et (C) sa courbe dans un repère orthonormé (O;i^→;j^→).
1) (a) Montrer que f est une fonction impaire.

(b) Déterminer les limites de f en +∞ et à droite à 1.
2) Déterminer les asymptotes à (C).
3) Etudier la monotonie de f et tracer son tableau de variations sur D.
4) Tracer la courbe (C).
5) Résoudre graphiquement
l'inéquation f(x)≥0.

Correction

1) D={x∈IR/x²-1≠0}
=]-∞;-1[∪]-1;1[∪]1;+∞[.

Le domaine D est centré en 0
donc (∀x∈D): (-x)∈D. Soit x∈D

f(-x) = -x -	-x
	x²-1
= -(x -	x	) = -f(x)
	x²-1

donc f est impaire
il suffit donc d'étudier f sur [0;1[∪]1;+∞[.

On étudie le signe de x²-1 au voisinage de 1 pour déterminer la limite au point 1.

x		0		1		+∞
x²-1			-	||	+

Donc

lim 1+	x	=	1	= +∞
	x²-1		0+

ainsi

lim 1+

f(x) = 1-∞ = - ∞

Limite de f en +∞.

lim +∞	x	=	lim +∞	x	=	lim +∞	1	= 0
	x²-1			x²			x

donc

lim +∞

f(x) = +∞ - 0 = + ∞

2) Asymptotes à la courbe (C).

On a

lim 1+

f(x) = - ∞

donc la droite d'équation x=1 est une asymptote à la courbe (C).

Puisque f est impaire alors la droite d'équation x=-1 est une asymptote à la courbe (C).
On a aussi

lim +∞	f(x)-x =	lim +∞	x	= 0
			x²-1

donc la droite (D) d'équation y=x est une asymptote oblique à la courbe (C) au voisinage de +∞.

On a f est impaire et la droite (D) est la première bissectrice du repère donc (D) est aussi une asymptote à (C) au voisinage de -∞.
3) f est une fonction rationnelle donc dérivable sur D. Soit x∈D

f '(x) = 1 -	(x²-1)-2x²	= 1 +	x²+1
	(x²-1)²		(x²-1)²

x²+1> 0 et (x²-1)²>0 donc (∀x∈D): f '(x)>0
ainsi f est strictement croissante sur des intervalles [0;1[ et ]1;+∞[.

f est impaire donc f est également strictement croissante sur des intervalles ]-∞;-1[ et ]-1;0].

x	-∞			-1				1			+∞
f'		+				+				+
f	-∞	↗	+∞		-∞	↗	+∞		-∞	↗	+∞

4) La courbe (C).

5) (C) coupe l'axe des abscisses en trois points d'abscisses respectives a ; b et c
tels que -2<a <-1 ; b=0 et 1<c <2.
L'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)≥0 est l'ensemble des abscisses des points de la courbe (C) situés au-dessus de l'axe des abscisses
ainsi S=[a;-1[∪[0;1[∪[c;+∞[.