Etude des fonctions numériques (12)
Exercice 1 tp
On considère une fonction f définie par
| f(x) = - |x-1|+ | 1 |
| x-1 |
et (C) sa courbe dans un repère orthonormé (O;i→;j→).
1) Calculer les limites suivantes
lim 1- |
f(x) | lim 1+ |
f(x) |
lim -∞ |
f(x) | lim +∞ |
f(x) |
et déterminer les asymptotes de (C).
2) Etudier la monotonie de f et tracer son tableau de variations.
3) Tracer la courbe (C).
4) Résoudre graphiquement
l'inéquation f(x)<0.
Correction
1) D={x∈IR / x-1≠0}
=]-∞;1[∪]1;+∞[.
On peut écrire f(x) sans valeur absolue
| { | f(x)= x-1+ | 1 | si x< 1 |
| x-1 | |||
| f(x)= -x+1+ | 1 | si x> 1 | |
| x-1 |
1) Limite en -∞ et en +∞
| lim ±∞ |
1 | = | lim ±∞ |
1 | = | 0 |
| x-1 | x |
Donc
lim -∞ |
f(x)= | lim -∞ |
x-1= - ∞ |
| et | lim +∞ |
f(x) = | lim +∞ |
-x+1 = - ∞ |
Limite en 1. f n'est pas définie en 1
on étudie donc le signe de x-1 au voisinage de 1.
| x | -∞ | 1 | +∞ | |||
| f(x) | - | || | + |
lim 1- |
1 | = | 1 | = -∞ |
| x-1 | 0- |
lim 1- |
f(x) = | lim 1- |
x-1 + | 1 |
| x-1 |
0 + ∞=+∞ donc
lim 1- |
f(x) = -∞ |
lim 1+ |
1 | = | 1 | = +∞ |
| x-1 | 0+ |
lim 1+ |
f(x) = | lim 1+ |
-x+1 + | 1 |
| x-1 |
0 + ∞ = +∞ donc
lim 1+ |
f(x) = +∞ |
Asymptotes de (C)
| on a | lim 1- |
f(x)= -∞ |
donc (C) admet une asymptote d'équation x=1.
On a
lim 1+ |
f(x)= +∞ |
donc (C) admet une asymptote d'équation x=1
lim +∞ |
f(x)-(-x+1) = | lim +∞ |
1 | = 0 |
| x-1 |
donc (C) admet une asymptote oblique d'équation y=-x+1 au voisinage de +∞.
lim -∞ |
f(x)-(x-1) = | lim -∞ |
1 | = 0 |
| x-1 |
donc (C) admet une asymptote oblique d'équation y=x-1 au voisinage -∞.
3) Monotonie de f sur]-∞;1[.
| f(x) = x-1+ | 1 | si x< 1 | |
| x-1 | |||
| f'(x) = 1- | 1 | = | x(x-2) |
| (x-1)² | (x-1)² |
f'(x)=0⇔x(x-2)=0⇔(x=0 ou x=2)
2∉]-∞; 1[
donc x=0.
f est strictement croissante sur ]-∞;0[
et strictement décroissante sur [0;1[.
Monotonie de f sur ]1;+∞[.
| f(x) = -x+1+ | 1 | si x> 1 |
| x-1 | ||
| f'(x)= -1- | 1 | |
| (x-1)² |
(∀x∈]1;+∞[): f'(x)< 0
donc f est strictement décroissante
sur ]1;+∞[.
| x | -∞ | 0 | 1 | +∞ | ||||
| f'(x) | + | 0 | - | - | ||||
| f | -∞ |
↗ |
-2 | ↘ |
-∞ |
+∞ | ↘ |
-∞ |
4) La courbe (C) coupe l'axe des abscisses en un seul point donc l'équation admet une seule solution α=2.
L'ensemble des solutions de l'inéquation
f(x)<0 est l'ensemble des abscisses des points de la courbe qui sont au dessous de l'axe des abscisses.
S=]-∞;1[∪]2;+∞[
