Etude des fonctions numériques (11)
Exercice 1 tp
On considère une fonction f définie par
| f(x) = | |x²-1| |
| x |
et (C) sa courbe dans un repère orthonormé (O;i→;j→).
1) Etudier la parité de f et déduire le domaine d'étude réduit de f
2) Calculer les limites suivantes
lim 0+ |
f(x) | lim +∞ |
f(x) |
et déterminer les asymptotes de (C).
3) Etudier la dérivabilité de f en 1.
4) Etudier la monotonie de f et tracer son tableau de variations.
5) Tracer la courbe (C).
Correction
1) D={x∈IR / x≠0}
=]-∞;0[∪]0;+∞[
D est centré en 0 donc (∀x∈D): (-x)∈D
| f(-x) = | |(-x)²-1| |
| -x | |
| = - | |x²-1| |
| x |
donc f(-x)=-f(x) et donc f est une fonction impaire
et le domaine réduit I=]0;+∞[.
On peut écrire f(x) sans valeur absolue.
| { | f(x) = | x²-1 | si x∈]-∞;-1]∪[1;+∞[ |
| x | |||
| f(x) = | 1-x² | si x∈[-1;0[∪]0;1] | |
| x |
2) Limite à droite à 0
lim 0+ |
f(x) | = | lim 0+ |
1-x² | = | 1 |
| x | 0+ |
donc
lim 0+ |
f(x) = +∞ |
Limite en +∞
lim +∞ |
f(x) = | lim +∞ |
x² | = | lim +∞ |
x |
| x |
Donc
lim +∞ |
f(x) = +∞ |
Asymptotes de (C)
lim 0+ | f(x) = +∞ |
signifie que (C) admet une asymptote d'équation x=0 (à droite vers le haut).
lim +∞ |
f(x) = +∞ |
lim +∞ |
f(x) | = | lim +∞ |
x²+1 |
| x | x² | |||
| = | lim +∞ |
x² | = 1 | |
| x² |
lim +∞ |
f(x)-x = | lim +∞ |
x²+1-x² |
| x |
| = | lim +∞ | 1 | = 0 |
| x |
donc (C) admet une asymptote oblique
(D): y= x.
3) Dérivabilité de f en 1
lim 1+ |
f(x)-f(1) | = | lim 1+ |
x²-1 |
| x-1 | x(x-1) |
| = | lim 1+ |
x+1 | = 2 |
| x |
f est dérivable à droite à 1 et fd'(1)=2.
lim 1- |
f(x)-f(1) | = | lim 1- |
1-x² |
| x-1 | x(x-1) |
| = | lim 1- |
-(x+1) | =- 2 | |
| x |
f est dérivable à gauche à 1 et fg'(1)=- 2
fd'(1)≠fg'(1) alors f n'est pas dérivable en 1.
Dans ce cas la courbe (C) admet deux demi-tangentes au point d'abscisse 1.
4) La restriction de f sur I=]1;+∞[ est une fonction rationnelle donc dérivable sur I.
| f '(x) = | 2x²-(x²-1) | = | x²+1 | > 0 |
| x² | x² |
donc f est strictement croissante sur I.
f est dérivable sur J=]0;1[
| f '(x) = | -2x²-(1-x²) | = | -(x²+1) | < 0 |
| x² | x² |
donc f est strictement décroissante sur J.
Tableau de variations de f
| x | -∞ | -1 | 0 | 1 | +∞ | |||||
| f '(x) | + | || | - | - | || | + | ||||
| f | -∞ |
↗ |
0 | ↘ | -∞ | +∞ | ↘ |
0 |
↗ |
+∞ |
5) f est impaire donc (C) est symétrique par rapport à O.
