Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) =	x
	√(|x+1|)

et (C) sa courbe dans un repère (O;i^→;j^→).
1) Déterminer D, le domaine de définition de f.
2) Calculer les limites suivantes

lim (-1)

f(x)

lim 1+

f(x)

lim -∞

f(x)

lim +∞

f(x)

et déterminer une asymptote à (C).
2) Etudier la monotonie de f et tracer son tableau de variations.
3) Tracer la courbe (C) et résoudre graphiquement l'équation f(x)=m selon les valeurs de m.

Correction

1) D={x∈IR/ x+1≠0} =]-∞;-1[∪]-1;+∞[.

{	f(x) =	x	si x< -1
		√(-x-1)
	f(x) =	x	si x> -1
		√(x+1)

lim -∞	x	=	lim -∞	x√(-x-1)
	√(-x-1)			-x-1
=	lim -∞	x	lim -∞	√(-x-1)
		-x-1

lim -∞	x	=	lim -∞	x	=	-1
	-x-1			-x

lim -∞

-x-1 = +∞ ⇒

lim -∞

√(-x-1) = +∞

donc

lim -∞

f(x)

= - ∞

lim +∞	x	=	lim +∞	x√(x+1)
	√(x+1)			x+1

=	lim +∞	x	lim +∞	√(x+1)
		x+1

lim +∞	x	=	lim +∞	x	=	1
	x+1			x

lim +∞

x+1 = +∞ ⇒

lim +∞

√(x+1) = +∞

donc

lim +∞

f(x)

= + ∞

|x+1|≥0 donc

lim (-1)

|x+1| ≥0 ⇒

lim (-1)

√(|x+1|)≥0

lim -1	x	=	-1	- ∞
	√(|x+1|)		0+

donc

lim -1

f(x) =

= - ∞

ainsi (C) admet une asymptote d'équation x=-1.

On a

lim -∞

f(x) = - ∞

lim -∞	f(x)	=	lim -∞	x
	x			x√(-x-1)

lim -∞	-x-1 = +∞ ⇒	lim -∞	1	= 0
			√(-x-1)

donc

lim -∞	f(x)	= 0
	x

Ainsi (C) admet une branche parabolique de direction (Ox).

On a

lim +∞

f(x) = + ∞

lim +∞	f(x)	=	lim +∞	x
	x			x√(x+1)

lim +∞	x+1 = +∞ ⇒	lim +∞	1	= 0
			√(x+1)

Donc

lim +∞	f(x)	= 0
	x

ainsi (C) admet une branche parabolique de direction (Ox)
2) Monotonie de f sur I=]-∞;-1[

f(x) =	x	si x< -1
	√(-x-1)

La fonction x→(-x-1) est strictement positive sur I et dérivable sur IR en particulier sur I.

La fonction x→x est dérivable sur I
donc f est dérivable sur I. Soit x∈I

f '(x) =	√(-x-1) - x(√(-x-1))'
	(√(-x-1))²
=	2(√(-x-1))² + x
	2(-x-1)√(-x-1)

donc

f '(x) =	-x-2
	2(-x-1)√(-x-1)

f'(x) est de signe de -x-2.
f'(x)=0⇔ -x-2=0⇔x=-2.
f est strictement croissante sur ]-∞;-2]
et strictement décroissante sur [-2;-1[
Monotonie de f sur J=]-1;+∞[.

f(x)=	x	si x> -1
	√(x+1)

La fonction x→(x+1) est strictement positive sur J et dérivable sur IR donc dérivable sur J. La fonction x→x est dérivable sur J donc f est dérivable sur J ainsi f est dérivable sur J.

Soit x∈J

f '(x) =	√(x+1) - x(√(x+1))'
	(√(x+1))²

=	2(√(x+1))² - x
	2(x+1)√(x+1)

donc

f'(x) =	x+2
	2(x+1)√(x+1)

f'(x) est de signe de x+2
f'(x)=0⇔ x+2=0⇔x=-2

-2∉I2 et x+2>0 donc f est strictement croissante
sur ]-1;+∞[.

x	-∞		-2		-1				+∞
f'(x)		+	0	-				+
f	-∞	↗	-2	↘	-∞		-∞	↗	+∞

3) La courbe (C)

4) Résolutions graphique de (E): f(x)=m.
on considère la droite variante et paralléle à l'axe des ordonnées (D_m).
si m<-2 alors (D_m) coupe la courbe en trois points donc l'équation (E) admet trois solutions.
si m=-2 alors (D_m) coupe la courbe en deux points donc l'équation admet deux solutions.
si m>-2 alors (D_m) coupe la courbe en un seul point donc l'équation (E) admet une seule solution.