Etude des fonctions numériques (16)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction définie par
| f(x) = | sinx |
| 1-cosx |
et (C) sa courbe dans un repère (O;i→;j→).
1) Déterminer J le domaine réduit d'étude de f.
2) Calculer la limite suivante
lim 0+ |
f(x) |
et déduire une asymptote à (C).
3) Montrer que ∀x∈J
| f '(x)= | -1 |
| 1-cosx |
4) Etudier la monotonie de f et tracer son tableau de variations.
5) Tracer la courbe de f sur[-3π;3π].
Correction
1) D={x∈IR/ 1-cosx≠0}
={x∈IR/ x≠2kπ ; k∈ℤ}.
Les deux fonctions cos et sin sont périodiques de période 2π sur IR.
Soit x∈D donc x≠2kπ tel que k∈ℤ
ou encore x+2π≠2kπ+2π
ou encore x+2π≠2(k+1)π trl que k+1=k'∈ℤ
donc x+2π∈D.
De la même façon on montre que x-2π∈D.
Soit x∈D
| f(x+2π) = | sin(x+2π) | = | sin(x) |
| 1-cos(x+2π) | 1-cos(x) |
Donc f(x+2π) = f(x)
et cela signifie que f est périodique de période 2π
il suffit donc de l'étudier sur un intervalle d'amplitude
2π.
Soit I=[-π;π]\{0}.
I est centré en 0 donc
(∀x∈I): (-x)∈I.
| f(-x) = | sin(-x) | = | - sin(x) |
| 1-cos(-x) | 1-cos(x) |
donc f(-x)=-f(x) ainsi f est impaire.
Le domaine réduit d'étude de f est donc J=]0;π].
2) Limite en 0+
lim 0+ |
f(x) = | lim 0+ |
sinx |
| 1-cosx |
| = | lim 0+ |
sinx | . | x² | . | 1 |
| x | 1-cosx | x |
lim 0+ |
sinx | = 1 | lim 0+ |
1 | = +∞ | |
| x | x |
lim 0+ |
1-cosx | = | 1 | ⇒ | lim 0+ |
x² | = 2 |
| x² | 2 | 1-cosx |
donc
lim 0+ |
f(x) = +∞ |
ainsi la courbe (C) admet une asymptote d'équation x=0.
3) cos et sin sont dérivables sur IR en particulier sur J.
La fonction x→(1-cosx) est dérivable et ne s'annule pas sur J donc f est dérivable sur J.
Soit x∈J
| f '(x) = | cosx(1-cosx)-sin²x |
| (1-cosx)² |
| = | -1+cosx | = | -1 |
| (1-cosx)² | 1-cosx |
ainsi
| f '(x) = | -1 |
| 1-cosx |
(∀x∈J): 1-cosx> 0
donc (∀x∈J): f'(x)< 0 ainsi f est strictement décroissante sur J.
| x | 0 | π | ||
| f '(x) | - | |||
| f | +∞ | ↘ |
0 |
|
4) On trace (C) sur J et on la compléte en utilisant la translation T2πi→.
