Etude des fonctions numériques (2)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction définie par
| f(x) = | x²+x-1 |
| 2x-2 |
et (C) sa courbe dans un repère (O;i→;j→).
1) Calculer les limites suivantes
lim -∞ |
f(x) | lim +∞ |
f(x) | |
lim 1- |
f(x) | lim 1+ |
f(x) |
2) Déterminer les asymptotes de (C).
3) Etudier la monotonie de f et tracer son tableau de variations.
4) Tracer la courbe (C) et résoudre graphiquement l'inéquation f(x)≥0.
Correction
1) D={x∈IR / 2x-2≠0} =]-∞;1[∪]1;+∞[.
lim -∞ |
f(x) = | lim -∞ |
x² |
| 2x | |||
| = | lim -∞ |
1 | x | 2 |
Donc
lim -∞ |
f(x) = -∞ |
On a
lim +∞ |
f(x) = | lim +∞ |
x² |
| 2x | |||
| = | lim +∞ |
1 | x |
| 2 |
donc
lim +∞ |
f(x) = +∞ |
Limite à gauche à 1 et limite à droite à 1.
On étudie le signe de 2x-2 au voisinage de 1.
| x | -∞ | 1 | +∞ | |||
| 2x-2 | - | 0 | + |
lim 1- |
x²+x-1 | = | 1 |
| 2x-2 | 0- |
donc
lim 1- |
f(x) = | -∞ |
On a
lim 1+ |
x²+x-1 | = | 1 |
| 2x-2 | 0+ |
donc
lim 1+ |
f(x) = | +∞ |
2) Asymptotes. On a
lim 1- |
f(x) = | -∞ |
donc la droite d'équation x=1 est une asymptote à (C) à gauche à 1.
On a
lim 1+ |
f(x) = | +∞ |
donc la droite d'équation x=1 est une asymptote à (C) à droite à 1.
On a
lim -∞ | f(x) = -∞ |
lim -∞ |
f(x) | = | lim -∞ |
x² | = | 1 |
| x | 2x² | 2 |
lim -∞ |
f(x)- | 1 | x = | lim -∞ |
2x-1 |
| 2 | 2x-2 |
| = | lim -∞ |
2x | = 1 |
| 2x |
donc la courbe (C) admet une asymptote oblique au voisinage de -∞ d'équation
| y = | 1 | x + 1 |
| 2 |
On a
lim +∞ |
f(x) = +∞ |
lim +∞ |
f(x) | = | lim +∞ |
x² | = | 1 |
| x | 2x² | 2 |
lim +∞ |
f(x)- | 1 | x | = | lim +∞ |
2x-1 |
| 2 | 2x-2 |
| = | lim +∞ |
2x | = 1 |
| 2x |
La courbe (C) admet donc une asymptote oblique au voisinage de +∞ d'équation
| y = | 1 | x + 1 |
| 2 |
3) f est une fonction rationnelle donc dérivable sur D=IR\{1}.
Soit x∈D\{1}
| f'(x) = | 2x²-4x | = | x(x-2) |
| (2x-2)² | 2(x-1)² |
f'(x)=0⇔ x=0 ou x=2
f est strictement croissante sur ]-∞;0]
et sur [2;+∞[ et strictement décroissante sur
[0;1[ et sur ]1;2].
| x | -∞ | 0 | 1 | 2 | +∞ | |||||
| f'(x) | + | 0 | - | - | 2 | + | ||||
| f | -∞ |
↗ |
1/2 | ↘ |
-∞ |
+∞ | ↘ |
5/2 |
↗ |
+∞ |
La courbe (C) coupe l'axe des abscisses en deux points donc l'équation admet deux solutions a et b telles que
-2<a<-1 et 0<b<1.
L'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)≥0 est l'ensemble des abscisses des points de la courbe qui sont au dessus de l'axe des abscisses
ainsi S=[a;b]∪]1;+∞[.