Etude des fonctions numériques (3)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction définie par
| f(x) = | x²-2x |
| x-1 |
et (C) sa courbe dans un repère (O;i→;j→).
1) Calculer les limites suivantes
lim -∞ |
f(x) | lim +∞ |
f(x) | |
lim 1- |
f(x) | lim 1+ |
f(x) |
2) Déterminer a ; b et c sachant que
| f(x) = ax+b+ | c |
| x-1 |
et déduire l'asymptote oblique de (C).
3) Montrer que pour tout x∈D
| f '(x) = 1+ | 1 |
| (x-1)² |
et tracer le tableau de variations de f.
4) Montrer que A(1;0) est un centre de symétrique de (C) et tracer (C).
Correction
1) Df={x∈IR / x-1≠0} =]-∞;1[∪]1;+∞[.
lim -∞ |
f(x) = | lim -∞ |
x² | = | lim -∞ |
x |
| x |
donc
lim -∞ |
f(x) = -∞ |
On a
lim +∞ |
f(x) = | lim +∞ |
x² | = | lim +∞ |
x |
| x |
Donc
lim +∞ |
f(x) = +∞ |
Limite à gauche à 1 et limite à droite à 1.
On étudie le signe de x-1 au voisinage de 1.
| x | -∞ | 1 | +∞ | |||
| x-1 | - | 0 | + |
donc
lim 1- |
x²-2x | = | -1 |
| x-1 | 0- |
Ainsi
lim 1- |
f(x) = | +∞ |
On a
lim 1+ |
x²-2x | = | -1 |
| x-1 | 0+ |
donc
lim 1+ |
f(x) = | -∞ |
et cela signifie que la droite (Δ): x=1 est une asymptote à (C).
2) Déterminons a ; b et c.
| f(x) = | (x²-2x+1)-1 |
| x-1 |
| = | (x-1)² | + | -1 |
| x-1 | x-1 | ||
| = | x-1 | - | 1 |
| x-1 |
et donc a=1, b=-1 et c=-1.
lim ±∞ |
f(x)-(x-1) = | lim ±∞ |
1 |
| x-1 |
| = | lim ±∞ |
1 | =0 |
| x |
alors (D):y=x-1 est une asymptote oblique à (C).
3) La fonction dérivée f'
f est une fonction rationnelle donc dérivable sur son domaine de définition. Soit x∈D
| f '(x) = (x-1)' - ( | 1 | )' |
| x-1 |
donc
| f '(x)= | = 1 + | 1 |
| (x-1)² |
(∀x∈D) on a (x-1)²>0
donc (∀x∈D): f'(x)>0
ainsi f est strictement croissante sur
]-∞;1[
et strictement croissante sur ]1;+∞[.
| x | -∞ | 1 | +∞ | ||||
| f '(x) | + | + | |||||
| f | -∞ |
↗ |
+∞ | -∞ |
↗ |
+∞ | |
4) Montrons que A(1;0) est un centre de symétrie de (C).
Rappel
A(a;b) est un centre de symétrie d'une courbe (C) signifie que
(∀x∈D): 2a-x∈D et f(2a-x)=2b-f(x).
On a (∀x∈D): 2.1-x∈D
| et f(2.1-x)=(2-x)-1- | 1 |
| (2-x)-1 |
donc f(2-x)=-f(x).
| = -(x-1)- | 1 | |
| -(x-1) | ||
| = -(x-1- | 1 | ) |
| x-1 |
donc f(2-x)=-f(x) et cela signifie que le point A(1;0) est un centre de symétrie de la courbe (C).
