Etude des fonctions numériques (5)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = 1- | 2x |
| x²+1 |
et (Cf) sa courbe dans un repère (O;i→;j→).
1) Calculer la limite de f en +∞
et déduire une équation de l'asymptote à (Cf).
2) (a) Montrer que ∀x∈IR
| f '(x) = | 2x²-2 |
| (x²+1)² |
Déduire la monotonie de f sur IR
et tracer son tableau de variations.
(b) Déterminer une équation de la tangente à (Cf) au point A(0;1).
3) Montrer que A est un centre de symétrie de (Cf) et déduire DE le domaine réduit de f.
4) (a) Montrer que ∀x∈IR
| f "(x) = | 4x(3-x²) |
| (x²+1)³ |
(b) Etudier la concavité de (Cf) et donner ses points d'inflexions.
5) Tracer la courbe (Cf)
(f(√(3)=0,13 et f(-√(3)=1,8)).
(II) On considère la fonction g définie par
g(x)=f(x+1) et (Cg) sa courbe.
1) Tracer le tableau de variations de g.
2) Tracer (Cg).
Correction
(I) 1) Limite en +∞
lim +∞ |
f(x)-1 = | lim +∞ |
2x |
| x² |
| = | lim +∞ |
2 | = 0 |
| x |
donc
lim +∞ |
f(x) = 1 |
et cela signifie que y=1 est une équation d'une asymptote à (Cf)
2) (a) f est une fonction rationnelle donc dérivable sur Df=IR.
Soit x∈IR
| f'(x) = (1)'-( | 2x | )' |
| x²+1 | ||
| = - | 2x²+2-4x² | |
| (x²+1)² |
donc
| f '(x) = | 2(x²-1) |
| (x²+1)² |
f'(x)=0⇔x²-1=0⇔(x=1 ou x=-1)
a=1>0 donc f est strictement croissante
sur ]-∞;-1] et sur [1;+∞[
et strictement décroissante sur [-1;1].
| x | -∞ | -1 | 1 | +∞ | |||
| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + | ||
| f | 1 |
↗ |
2 | ↘ |
0 |
↗ |
1 |
(b) f est dérivable sur IR en particulier au point x=0
f(0)=1 et
| f '(0) = | -2 | = -2 |
| (0+1)² |
donc (Cf) admet une tangente au point A d'équation y=f'(0)+f(0) ou encore y=-2x+1.
3) Montrons que A(0;1) est un centre de symétrie.
| f(2.0-x) = 1- | 2(-x) | = (2-1)+ | 2x |
| (-x)²+1 | x²+1 |
| = 2 -(1- | 2x | )= 2-f(x) |
| x²+1 |
donc A est un centre de symétrie de (Cf). Le domaine réduit de f est donc DE=[0;+∞[.
4) (a) f' est dérivable sur IR
et f"(x)=(f')'(x)
| f"(x) = ( | 2x²-2 | )' |
| (x²+1)² | ||
| = | 4x(x²+1)²-2(x²+1)(2x)(2x²-2) | |
| (x²+1)4 |
| = | 4x(x²+1)[x²+1-(2x²-2)] | |
| (x²+1)4 | ||
| = | 4x(-x²+3) | |
| (x²+1)³ |
(b) f"(x)=0 ⇔4x(3-x²)=0
⇔x=0 ou x=-√(3) ou x=√(3)
| x | -∞ | -√(3) | 0 | √(3) | +∞ | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f"(x) | + | 0 | - | 0 | + | √(3) | - | |||
| (Cf) | U | I | ∩ | J | U | K | ∩ |
f" s'annule en -√(3); 0 et √(3) et change de signe donc les points d'inflexions sont
(-√(3);f(-√(3))); J(0;1) et K(√(3);f(√(3))).
(II) 1) g(x)=f(x+1)=fop(x) avec p(x)=x+1
p est strictement croissante sur IR donc g a la même monotonie que f en posant x=X+1→X=x-1.
| X | -∞ | -2 | 0 | +∞ | |||
| g'(X) | + | 0 | - | 0 | + | ||
| g | 1 |
↗ |
2 | ↘ |
0 |
↗ |
1 |
2) La courbe (Cg) voir au dessus.