Etude des fonctions numériques (6)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction définie par
f(x) = √(x²+2x)
et (C) sa courbe dans un repère orthonormé (O;i→;j→).
1) Montrer que la droite (D): x=-1 est un axe de symétrie de (C) et déduire le domaine réduit de f.
2) Calculer la limite de f en +∞.
3) Montrer que la droite (Δ1): y=x+1 est une asymptote oblique à (C) au voisinage de +∞.
4) (a) Etudier la dérivabilité de f en 0.
(b) Montrer que ∀x∈Df\{-2;0}
| f '(x) = | x+1 |
| √(x²+2x) |
et déduire les variations de f.
(c) Tracer le tableau de variations de f sur Df.
5) Tracer la courbe (C).
Correction
Rappel
(D): x=a est un axe de symétrie d'une courbe signifie
(∀x∈Df): 2a-x∈Df et f(2a-x)=f(x).
1) Df={x∈IR / x²+2x≥0}
=]-∞;-2]∪[0;+∞[
Soit x∈Df
donc x∈]-∞;-2] ou x∈[0;+∞[
Si x∈]-∞;-2] alors x≤-2 ou encore -x≥2
ou encore -2-x≥0
donc 2.(-1)-x∈[0;+∞[ ainsi 2.(-1)-x∈Df.
Si x∈[0;+∞[ alors x≥0 ou encore -x≤0 ou encore -2-x≤-2
donc 2.(-1)-x∈]-∞;-2] ainsi 2.(-1)-x∈Df
et donc (∀x∈Df): 2.(-1)-x∈Df.
Soit x∈Df. On a f(-2-x)=√((-2-x)²+2(-2-x))
=√(4+4x+x²-4-2x)=√(x²+2x)
donc f(-2-x)=f(x) et cela signifie que (D):x=-1 est un axe de symétrie de la courbe (C).
Le domaine réduit est donc DE=[0;+∞[.
2) Limite en +∞
lim +∞ |
x²+2x = | lim +∞ |
x² = +∞ |
| ⇒ | lim +∞ |
√(x²+2x) = +∞ |
Ainsi
lim +∞ |
f(x)= +∞ |
3) la première condition est vérifiée
lim +∞ |
f(x)= +∞ |
on calcule donc
lim +∞ |
f(x)-(x+1) |
lim +∞ |
f(x)-(x+1) | |
| = | lim +∞ |
√(x²+2x)² - (x+1)² |
| √(x²+2x) + (x+1) |
| = | lim +∞ |
-1 | = | -1 |
| √(x²+2x) + (x+1) | +∞ |
donc
lim +∞ |
f(x)-(x+1)= 0 |
Ainsi (D):y=x+1 est une asymptote oblique à (C) au voisinage de +∞
4) (a) Dérivation à 0 (à droite)
lim 0+ |
f(x)-f(0) | = | lim 0+ |
√(x²+2x) |
| x-0 | x |
| = | lim 0+ |
|x|√(1+2/x) |
| x | ||
| = | lim 0+ |
x√(1+2/x) |
| x |
| = | lim 0+ |
√(1+ | 2 | ) |
| x |
On a
lim 0+ |
2 | = +∞ |
| x |
donc
lim 0+ |
f(x)-f(0) | = +∞ |
| x-0 |
ainsi f n'est pas dérivable en 0 et (C) admet donc une demi-tangente verticale en O+.
(b) Soit x∈Df\{-2;0} donc x²+2x>0 et la fonction x→x²+2x est dérivable sur IR et en particulier sur D\{-2;0}.
| f '(x) = | (x²+2x)' | = | 2x+2 |
| 2√(x²+2x) | 2√(x²+2x) |
ainsi
| f '(x) = | x+1 |
| √(x²+2x) |
f'(x) est de signe de x+1
f'(x)=0 ⇔ x+1=0 ⇔ x=-1 (-1∉Df).
Signe de x+1
| x | -∞ | -2 | -1 | 0 | +∞ | ||||
| x+1 | - | + | |||||||
donc f est strictement décroissante sur
]-∞;-2] et strictement croissante sur [0;+∞[
Notons que f n'est pas définie sur ]-2;0[.
(c) Tableau de variations de f
| x | -∞ | -2 | 0 | +∞ | |||||
| f '(x) | - | + | |||||||
| f | +∞ | ↘ |
0 |
0 |
↗ |
+∞ | |||
5) Puisque (D): x=-1 est un axe de symétrie de (C) alors on trace la courbe sur [0;+∞[ et on la complete par symétrie axiale sur ]-∞;-2].
