Mathématiques du secondaire qualifiant

دراسة دوال عددية (8)

تمرين 14 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي

{f(x)= 2x ; x≤0
x²+1
f(x)= 2√(x) ; x> 0
x²+1
1) (q1) حدد D مجموعة تعريف الدالة f
(q2) احسب النهايات عند محدات مجموعة تعريف الدالة f
2) حدد مقاربات منحنى الدالة f
3) (q1) ادرس قابلية الاشتقاق الدالة f عند 0
(q2) ادرس رتابة الدالة f على المجالين ]-∞;0[ ; ]0;+∞[ وانشئ جدول التغيرات
4) انشئ منحنى الدالة f في معلم متعامد ممنظم
5) حل مبيانيا وحسب قيم الوسيط m المعادلة f(x) = m

تصحيح

4) المنحنى

تمرين 15 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x)=sinx
1-cosx
1) حدد J المجال المختصر لدراسة الدالة f
2) احسب نهاية الدالة f عند محدات المجال J ثم استنتج مقاربات منحنى الدالة f
3) ادرس رتابة الدالة f وانشئ جدول تغيراتها
4) انشئ منحنى الدالة f على المجال [-3π;3π]

تصحيح

1) D={x∈IR/ 1-cosx≠0}
={x∈IR/ x≠2kπ ; k∈ℤ}

لدينا ∀x∈D, x+2π;x-2π∈D
f(x+2π)=sin(x+2π) = sin(x) = f(x)
1-cos(x+2π) 1-cos(x)
وهذا يعني ان f دالة دورية دورها 2π اذن يكفي دراستها على مجال سعته 2π فليكن I=[-π;π]\{0} المجموعة I مماثلة بالنسبة للصفر اذن
∀x∈I, (-x)∈I

f(-x)=sin(-x) = - sin(x) = -f(x)
1-cos(-x) 1-cos(x)
وهذا يعني ان f دالة فردية وبالتالي يكفي دراستها على المجال J=]0;π] الذي هو مجموعة الدراسة
2)
lim
0+
f(x)= lim
0+
sinx
1-cosx
=lim
0+
1.sinx . =+∞.1.2=+∞
x.x 1-cosx
وهذا يعني ان المنحنى (C) يقبل مقاربا معادلته x=0

3) الدالتان cos و sin قابلتان للاشتقاق على IR وبالخصوص على J والدالة x→(1-cosx) لا تنعدم في J اذن f قابلة للاشتقاق على J
f '(x)=cosx(1-cosx)-sin²x
(1-cosx)²

= -1+cosx
(1-cosx)²
= -1
1-cosx
لدينا ∀x∈J, 1-cosx> 0
اذن ∀x∈J, f'(x)< 0 وبالتالي f تناقصية قطعا على J
x0π
f '(x) -
f +∞


0

4) نرسم المنحنى على J ثم نتممه باستعمال الازاحة ذات المتجهة 2πi