2- Composée de deux fonctions

2.1 Définition

2.1.1 Exemple

Soient f et g deux fonctions numériques définies sur IR comme suit
f(x)= 2x-1 et g(x)= x²-3x.
1) Calculer f(3) puis g(f(3)).
2) Déterminer g(f(x)).

2.1.2 Définition

Soient f une fonctions définie sur I et g une fonction définie sur J tel que f(I)⊂J.
la composée de deux fonctions f et g dans cet ordre est une fonction, notée gof définie comme suit
(∀x∈I): gof(x)= g(f(x)).

I	f →	J	g →	IR
x	→	f(x)	→	g(f(x))
I	gof →			IR

2.1.3 Exemple

Soient f une fonction définie par
f(x)=2x+4 et g une fonction définie par g(x)=√(x).
1) Déterminer D_gof.
2) Soit x∈D_gof. Déterminer gof(x).

Correction

D_f=IR et D_g=[0:+∞[.
D_gof={x∈Df / f(x)∈Dg}.
f(x)∈D_g ⇔ 2x+4≥0
⇔x≥-2⇔x∈[-2;+∞[.

Donc D_gof=[-2;+∞[.
On pose I=[-2;+∞[ et J=[0:+∞[
donc (∀x∈I): f(x)∈J ainsi f(I)⊂J.

[-2;+∞[	f →	[0;+∞[	g →	IR
x	→	(2x+4)	→	√(2x+4)
[-2;+∞[	gof →			IR

soit x∈[-2;+∞[.
gof(x)=g(f(x))=g(2x+4)
=√(2x+4)
ainsi (∀x∈I): gof(x)=√(2x+4).

Exercice 1 tp

Soient f une fonction définie par

f(x)=	1
	x-3

et g une fonction définie par g(x)=√(x).
1) Déterminer D_gof.
2) Si x∈D_gof alors déterminer gof(x).

Correction

D_f=IR\{3} et D_g=[0:+∞[.
D_gof={x∈D_f / f(x)∈D_g}.

f(x)∈D_g ⇔ x-3>0
⇔x>3⇔x∈]3;+∞[
donc D_gof=]3;+∞[.
On pose I=]3;+∞[ et J=[0:+∞[
donc (∀x∈I): f(x)∈J aonsi f(I)⊂J.

]3;+∞[	f →	[0;+∞[	g →		IR
x	→	1	→	√(	1	)
		x-3			x-3
[-2;+∞[	gof →				IR

Soit x∈]3;+∞[.
On a gof(x)=g(f(x)).

gof(x) = g(	1	)
	x-3
= √(	1	)
	x-3

ainsi (∀x∈I)

gof(x) = √(	1	)
	x-3

Exercice 2 tp

Soient f une fonction définie par f(x)=x²-1 et g une fonction définie par

g(x) =	1
	x

1) Déterminer D_fog et D_gof.
2) Si x∈D_gof alors déterminer gof(x).
3) Si x∈D_fog alors déterminer fog(x).