2.2 Monotonie de la composée

2.2.1 Propriété 1

Soient f une fonctions définie sur intervalle I et g une fonctions définie sur un intervalle J tel que f(I)⊂J.
gof est croissante sur I si et selement si f et g ont la même monotonie.
En d'autre terme si f est croissante sur I et g est croissante sur J
(ou f est décroissante sur I et g est décroissante sur J).

2.2.2 Propriété 2

Soient f une fonctions définie sur I et g une fonctions définie sur J tel que f(I)⊂J.
gof est décroissante sur I si et selement si f est croissante sur I et g est décroissante sur J
(ou f est décroissante sur I et g est croissante sur J).

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=√(x²+1).
1) Etudier la parité de f.
2) Etudier la monotonie de f sur IR⁺ et déduire sa monotonie sur IR^-.

Correction

1) D=IR car (∀x∈IR) x²+1≥0
donc (∀x∈IR): (-x)∈IR. Soit x∈IR
f(-x)=√((-x)²+1)=√(x²+1)=f(x)
ainsi f estune fonction paire.
2) f=rop est la composée de r=√ et p:x→x²+1
D_r=IR⁺ ; D_p=IR et p(IR)⊂IR⁺
car (∀x∈IR) p(x)>0.
p est strictement croissante sur IR⁺ et √ est strictement croissante sur IR⁺ donc f est strictement croissante sur IR⁺.

f est une fonction paire et strictement croissante sur IR⁺ donc elle est strictement décroissante sur IR^-.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie sur

Montrer que f est strictement croissante sur I.

Correction

la fonction sin est définie sur IR et la fonction g est définie sur IR.
On a g(IR)⊂IR donc la fonction f est définie sur IR et en particulier sur l'intervalle I
ainsi f(x)= sin(g(x)) tel que x∈I.

La fonction g est strictement croissante sur IR et en particulier sur I.
Notons que la fonction sin n'est pas une fonction monotone sur IR
donc nous déterminons g(I).

et puisque la fonction sin est strictement croissante sur J alors f est strictement croissante sur I.